【内容摘要】从数形两方面探究、推导“平方差公式”，观察并总结出公式的形式特征。
　　【关键词】多项式乘法法则 平方差公式
　　一、 知识回顾
　　多项式乘法法则：（a b）（m n）=am an bm bn
　　其意义是：
　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
　　说明：这里相乘的两个多项式不管是几项式，其法则不变.
　　二、问题探究
　　计算：
　　（1）（x 2y）（x-2y）；
　　（2）（x-6y）（x 6y）；
　　（3）（3x 5y）（3x-5y）；
　　（4）（a b）（a-b）.
　　观察与思考：这几道问题中相乘的两个多项式之间有何关系特征？其相乘的结果形式有何特征？为什么？你能概括出什么结论？
　　1.可看作是“两个数的和乘以这两个数的差”，其结果是等于“这两数的平方差”.
　　即：两数的和乘以这两数的差=这两数的平方差.
　　2.左边的两个二项式中有一项相同，另一项是互为相反数；右边是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
　　（a b）（a-b）=a2-ab ab-b2；
　　观察其计算的过程，展开式的中间两项恰好是互为相反数，合并为零，所以最后的结果只剩下两项。
　　概括：（阅读课本第31页）
　　平方差公式：（a b）（a-b）=a2-b2.
　　其意义是：
　　（1）两个数的和乘以这两个数的差，这两数的平方差；
　　（2）相乘的两个多项式中，有一项相同，另一项是互为相反数，其相乘的结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
　　说明：
　　1.公式中的a、b可以是数或单项式或单项式；
　　2.注意公式的第二层面的理解。
　　用面积法来解释公式的几何意义：
　　如图，把边长为a的正方形挖去一个边长为 的正方形，剩下的图形面积有几种不同的求法？它们表示的代数恒等式是什么？
　　在图1中，S=a2-b2；在图2中，S=（a b）（a-b）。
　　∴a2-b2=（a b）（a-b）；或说：（a b）（a-b）=a2-b2。
　　試一试：
　　1. 计算：
　　（1）（a 3）（a-3）；
　　（2）（2a 3b）（2a-3b）；
　　（3）（1 2c）（1-2c）；
　　（4）（-2x-y）（2x-y）.
　　第（4）题的进一步探究：
　　变式计算：
　　（1）（2x y）（-y 2x）；
　　（2）（2x y）（y-2x）；
　　（3）（-2x y）（2x y）；
　　（4）（-2x-y）（-2x y）；
　　（5）（2x y）（-2x-y）.
　　由这组题目的计算，你对平方差公式的特征还有什么新的认识？
　　相乘的两个多项式中，若有一项相同，另一项是互为相反数，则它们的积等于 项的平方减去 项的平方.
　　练一练：
　　计算：
　　（1）（2x 12） （2x-12）；
　　（2）（-x 2）（-x-2）；
　　（3）（-2x 3y）（2x 3y）；
　　（4）（y-x）（-x-y）.
　　注意：相同项的平方减去相反项的平方！
　　更上一层楼：
　　1.计算：（x 2）（x-3）-（x-4）（x 4）.
　　2.先化简，再求值：（x-3y）（x y）-（x 3y）（x-3y），其中，x=-2，y=14.
　　三、课后练习
　　1.计算：
　　（1）（a 3）（a-5）= ；
　　（2）（a 3）（a-3）= ；
　　（3）（a-5）（a 5）= ；
　　（4）（a-3）（a-5）= .
　　2.计算：
　　（1）（x 3y）（x-3y）= ；
　　（2）（3x 2y）（3x-2y）= ；
　　（3）（2x-5y）（2x 5y）= ；
　　（4）（-x 3）（-x-3）= .
　　3.计算：
　　（1）（a-4）（a 4） （a-1）（a 1）；
　　（2）（5 x）（5-x） （x-1）（x 3）；
　　（3）（3x-4y）（3x 4y）-（x 4y）（x-4y）；
　　（4）（a 2b）（2b-a）-（a 3b）（a-b）.
　　4.解方程：4x2-（x-2）（x 2）=（x-4）（3x 4）.
　　5.先化简，再求值：（x 3）（x-3）-（3x 2）（2-3x），其中x=2.
　　6.计算：（2x-y）（2x y）（4x2 y2）.
　　7.（1）探究：计算下列各式：
　　（x-1）（x 1）= .
　　（x-1）（x2 x 1）= .
　　（x-1）（x3 x2 x 1）= .
　　（2）归纳：（x-1）（xn-1 xn-2 xn-3 ... x 1）= .
　　【参考文献】
　　[1]华师大《八年级上册》（2014版）.
　　（作者单位：福建省泉州市培元中学）