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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0156-01
向量知识已经进入中学数学教材，由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点。向量作为一种工具，为解决中学数学问题提供了全新的视角，是培养学生创新精神和能力的极佳契机。由于学生对向量概念和性质理解不够，随意套用实数，平面的几何性质，所以解题时会出现种种错误。在向量课堂教学中应突出以下几点：
一、明晰概念，突出定理抽象概括过程
向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来的，在数学中它虽然是抽象形式符号，依然可以以位移为背景图象，加以去理解并不困难。在概念教学中教师应注意知识内容的背景和教学情境的引入，使学生能置于问题情境中，在轻松愉快的气氛和生动活泼的环境下进行抽象。
二、注意向量的性质与实数性质的区别
向量——既有大小又有方向的量。向量的运算与实数的运算不尽相同，在教学中要注意利用新旧知识之间的矛盾冲突，及时让学生加以辨别、总结，有利于正确理解向量的实质。例如：①对于实数a≠0，若a·b=0，则b一定为0，但对于■≠■，若■·■=■，不能推出■是零向量，因为■·■=｜■｜·｜■｜cosθ，cosθ可以为0，即对任一个与■垂直的非零向量■，均有■·■=■。②对于实数 a、b、c，有(a·b)·c=a·(b·c)即满足结合律。但对向量来说，它是错误的，即(■·■)·■≠■·(■·■)，因为(■·■)·■表示与■共线的向量，而■·(■·■)表示与■共线的向量，一般情况下， ■与■是不共线的。在教学中我通过引导学生分组讨论、类比、总结，给学生一个问题，让他们自己去探究；给学生一个空间让他们自己往前走，使学生成为真正的学习主体。
三、明确数量积的符号与夹角的关系，并灵活应用
对于非零向量■、■，当■、■的夹角为锐角时其数量积的符号为正；当■、■的夹角为钝角时其数量积的符号为负；当■、■的夹角为直角角时其数量积为零。然而，当■、■的数量积为正时，其夹角为锐角或零角；当■、■的数量积为负时，其夹角为钝角或平角；且有-｜■｜·｜■｜≤■·■≤｜■｜·｜■｜成立。当■、■的夹角为零角时■·■=｜■｜·｜■｜；当■、■的夹角为平角时■·■=-｜■｜·｜■｜在我们实际解题过程中如能灵活运用，将取得很好的效果。
四、突出向量在立体几何中的应用
解决立体几何问题主要是“平移是手段，垂直是关键”。在未引入向量以前，大多数学生在解题时往往因一条辅助线没有作出而功亏一篑，对解立体几何题具有畏惧心理。有了向量以后，两个向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决线面垂直、线线垂直；异面直线所成角、线面角、二面角及线段长度问题。掌握了用向量方法来解决立体几何这套强有力的工具，不仅降低了难度，而且增强了可操作性，为学生解题提供了崭新视角，进一步拓宽了思维渠道，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧的心理障碍，更有利于推进新课改、新理念、新教材的教学实验，更有利于素质教育的实施。在立体几何的距离和角计算问题中，都可以利用向量来进行，现小结如下：
1.求点到平面的距离
平面外一点A到这个平面的距离等于以A和平面内一点P分别为起点和终点的向量■在这个平面的法向量■上的射影的绝对值：｜AP′｜=■
2.求两异面直线之间的距离
异面直线l1和 l2之间的距离等于分别以 l1上一点E和l2 上 一点F为起点和终点的向量■在直线l1和l2的公共法向量■上的射影的绝对值: ｜E′F′｜=■
3.求两条异面直线所成的角
异面直线所成的角α，利用它们所有的向量■、■，转化为向量■、■的夹角θ问题，但θ∈（0，π），而α∈（0，■），所以cosα=cosθ=■
例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线AC与DA1所成角的大小。
解：以D 为原点，引进坐标系，则D(0，0，0)，A（1，0，0），C（0，1，0），A1（1，0，1）
设AC与DA1所成的角为θ，则cosθ=■=■=■
又θ∈(0，■]，所以θ=■，故异面直线AC与DA1所成角的大小为■。
4.求直线与平面所成的角
在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，一种是按定义得∠POH= ■,■，另一种方法利用法向量知识，平面α的法向量为■，先求■与■的夹角， 注意PO与α所成的角θ与■,■的關系，于是sinθ= ｜cos■,■｜。
5.求二面角的平面角
利用向量法求二面角有两种途径，一是根据二面角的平面角定义，AB⊥l，CD⊥l， AB∈α，CD∈β，则二面角α—l—β的大小为■,■，另一种方法是利用两个平面的法向量■1，■2的夹角求解，但应注意向量■1， ■2的夹角与二面角的大小相等或互补。
向量还可以解决其它一些问题，如在解析几何、三角、不等式、数列等方面的应用，有时会起到意想不到的效果，充分体现利用向量解题工具的优越性，这里不再一一赘述。
向量知识已经进入中学数学教材，由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点。向量作为一种工具，为解决中学数学问题提供了全新的视角，是培养学生创新精神和能力的极佳契机。由于学生对向量概念和性质理解不够，随意套用实数，平面的几何性质，所以解题时会出现种种错误。在向量课堂教学中应突出以下几点：
一、明晰概念，突出定理抽象概括过程
向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来的，在数学中它虽然是抽象形式符号，依然可以以位移为背景图象，加以去理解并不困难。在概念教学中教师应注意知识内容的背景和教学情境的引入，使学生能置于问题情境中，在轻松愉快的气氛和生动活泼的环境下进行抽象。
二、注意向量的性质与实数性质的区别
向量——既有大小又有方向的量。向量的运算与实数的运算不尽相同，在教学中要注意利用新旧知识之间的矛盾冲突，及时让学生加以辨别、总结，有利于正确理解向量的实质。例如：①对于实数a≠0，若a·b=0，则b一定为0，但对于■≠■，若■·■=■，不能推出■是零向量，因为■·■=｜■｜·｜■｜cosθ，cosθ可以为0，即对任一个与■垂直的非零向量■，均有■·■=■。②对于实数 a、b、c，有(a·b)·c=a·(b·c)即满足结合律。但对向量来说，它是错误的，即(■·■)·■≠■·(■·■)，因为(■·■)·■表示与■共线的向量，而■·(■·■)表示与■共线的向量，一般情况下， ■与■是不共线的。在教学中我通过引导学生分组讨论、类比、总结，给学生一个问题，让他们自己去探究；给学生一个空间让他们自己往前走，使学生成为真正的学习主体。
三、明确数量积的符号与夹角的关系，并灵活应用
对于非零向量■、■，当■、■的夹角为锐角时其数量积的符号为正；当■、■的夹角为钝角时其数量积的符号为负；当■、■的夹角为直角角时其数量积为零。然而，当■、■的数量积为正时，其夹角为锐角或零角；当■、■的数量积为负时，其夹角为钝角或平角；且有-｜■｜·｜■｜≤■·■≤｜■｜·｜■｜成立。当■、■的夹角为零角时■·■=｜■｜·｜■｜；当■、■的夹角为平角时■·■=-｜■｜·｜■｜在我们实际解题过程中如能灵活运用，将取得很好的效果。
四、突出向量在立体几何中的应用
解决立体几何问题主要是“平移是手段，垂直是关键”。在未引入向量以前，大多数学生在解题时往往因一条辅助线没有作出而功亏一篑，对解立体几何题具有畏惧心理。有了向量以后，两个向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决线面垂直、线线垂直；异面直线所成角、线面角、二面角及线段长度问题。掌握了用向量方法来解决立体几何这套强有力的工具，不仅降低了难度，而且增强了可操作性，为学生解题提供了崭新视角，进一步拓宽了思维渠道，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧的心理障碍，更有利于推进新课改、新理念、新教材的教学实验，更有利于素质教育的实施。在立体几何的距离和角计算问题中，都可以利用向量来进行，现小结如下：
1.求点到平面的距离
平面外一点A到这个平面的距离等于以A和平面内一点P分别为起点和终点的向量■在这个平面的法向量■上的射影的绝对值：｜AP′｜=■
2.求两异面直线之间的距离
异面直线l1和 l2之间的距离等于分别以 l1上一点E和l2 上 一点F为起点和终点的向量■在直线l1和l2的公共法向量■上的射影的绝对值: ｜E′F′｜=■
3.求两条异面直线所成的角
异面直线所成的角α，利用它们所有的向量■、■，转化为向量■、■的夹角θ问题，但θ∈（0，π），而α∈（0，■），所以cosα=cosθ=■
例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线AC与DA1所成角的大小。
解：以D 为原点，引进坐标系，则D(0，0，0)，A（1，0，0），C（0，1，0），A1（1，0，1）
设AC与DA1所成的角为θ，则cosθ=■=■=■
又θ∈(0，■]，所以θ=■，故异面直线AC与DA1所成角的大小为■。
4.求直线与平面所成的角
在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，一种是按定义得∠POH= ■,■，另一种方法利用法向量知识，平面α的法向量为■，先求■与■的夹角， 注意PO与α所成的角θ与■,■的關系，于是sinθ= ｜cos■,■｜。
5.求二面角的平面角
利用向量法求二面角有两种途径，一是根据二面角的平面角定义，AB⊥l，CD⊥l， AB∈α，CD∈β，则二面角α—l—β的大小为■,■，另一种方法是利用两个平面的法向量■1，■2的夹角求解，但应注意向量■1， ■2的夹角与二面角的大小相等或互补。
向量还可以解决其它一些问题，如在解析几何、三角、不等式、数列等方面的应用，有时会起到意想不到的效果，充分体现利用向量解题工具的优越性，这里不再一一赘述。