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【题目（江苏省高考2011年第18题）】如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原P、A点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1） 当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2） 当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3） 对任意k>0，求证：PA⊥PB.
一、 原解
解：（1） 由题意知M(-2,0),N(0, -2),M、N的中点坐标为-1，-22,
直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以k=22.
（2） 直线PA∶y=2x,由y=2x
x2+2y2=4得P23,43，A-23，-43，C23，0，AC方程： y-43=x-23-23-23即： x-y-23=0
所以点P到直线AB的距离
d=23-43-232=223
（3） 解法一：由y=kx
x24+y22=1得
P21+2k2，2k1+2k2，
A-21+2k2，-2k1+2k2，
C21+2k2，0kAC=2k1+2k241+2k2=k2，
直线AC∶y=k2x-21+2k2
代入x24+y22=1得到1+k22 x2-2k21+2k2x-4+6k21+2k2=0，解得xB=4+6k2(2+k2)1+2k2，
kPB=yB-yPxB-xP=k2xB-21+2k2xB-21+2k2=-4k4k2=-1k. ∴ kPA•kPB=k•-1k=-1，PA⊥PB.
解法二：由题意设 P(x1，y1)，B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0），设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=0-（-y2）x1-(-x1)=y12x1=k2.从而k1k+1=2k1k2+1=2•y2-y1x2-x1•y2-(-y1)x2-(-x1)+1=2(y22-y21)x21-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21=4-4x22-x21=0
∴ kk1=-1∴ PA⊥PB.
二、 新解
本题第（1）（2）两问都比较简单，第（3）问稍微繁琐，答案提供了两种解法，在这里，笔者再提供两种解法.
解法三：点差法
由题意设P(x1，y1)，B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），
∵ A、C、B三点共线，∴ kAC=kAB，y12x1=y2+y1x2+x1，
又因为点P、B在椭圆上，∴ x214+y212=1，x224+y222=1，两式相减得：
（x1-x2）（x1+x2）4+（y1-y2）（y1+y2）2=0
kPB=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)
∴ kPAkPB=y1x1-x1+x22（y1+y2）=2（y1+y2）x1+x2•-x1+x22（y1+y2）=-1∴ PA⊥PB.
解法四：利用韦达定理证垂直
设 P(x1，y1)，B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），
∵ kAB=kAC，kAC=y12x1，k=2y12x1
∴ kAB=k2联立：y=k2（x-x1）
x24+y22=1消y得，（k2+2）x2-2k2x1x+k2x21-8=0，根据韦达定理，
-x1+x2=2k2x1k2+2,则AB两点的中点Qk2x1k2+2,-kx1k2+2，
则kOQkAP=-kx1k2+2k2x1k2+2. k=-1,OQ⊥AP，从而BP⊥AP.
三、 推广
在什么样的椭圆中会有这样的结论？或者一般地，对于有心二次曲线而言，原题中的结论是否成立呢？我们将完全解决它.
定理1：已知椭圆x2a2+y2b2=1，过原点O任做直线与椭圆交于AP两点，过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交椭圆于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则PA⊥PB（即|α-β|=π2）的充要条件是a2=2b2.
证明：设P（x1，y1），B（x2，y2）则A(-x1，-y1)，C（x1，0），∵ A、C、B共线∴ y2+y1x2+x1=y12x1
∴ kPA•kPB=y1x1•y2-y1x2-x1=2•y2+y1x2+x1•y2-y1x2-x1=2•y22-y21x22-x21=2b21-x22a2-b21-x21a2x22-x21=-2b2a2.
因此，PA⊥PBkPA•kPB=-1a2=2b2.证毕.
定理2：已知双曲线x2a2-y2b2=1，过原点O任做直线与双曲线交于AP两点（P在第一象限），过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交双曲线于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则α+β=π2的充要条件是a2=2b2.
证明：设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），∵ A、C、B共线∴ y2+y1x2+x1=y12x1
∴ kPA•kPB=y1x1•y2-y1x2-x1=2•y2+y1x2+x1•y2-y1x2-x1=2•y22-y21x22-x21=2b2x22a2-1-b2x21a2-1x22-x21=2b2a2.
又 ∴ kPA=tanα＞0，kPB=tanβ＞0∴ tanα•tanβ=2b2a2.
因此α+β=π2tanα•tanβ=1a2=2b2. 证毕.
推论1：已知双曲线x2a2-y2b2=1，过原点O任做直线与双曲线交于AP两点（P在第二象限），过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交双曲线于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则α+β=3π2的充要条件是a2=2b2.
证明同定理2，略.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
（1） 当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2） 当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3） 对任意k>0，求证：PA⊥PB.
一、 原解
解：（1） 由题意知M(-2,0),N(0, -2),M、N的中点坐标为-1，-22,
直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以k=22.
（2） 直线PA∶y=2x,由y=2x
x2+2y2=4得P23,43，A-23，-43，C23，0，AC方程： y-43=x-23-23-23即： x-y-23=0
所以点P到直线AB的距离
d=23-43-232=223
（3） 解法一：由y=kx
x24+y22=1得
P21+2k2，2k1+2k2，
A-21+2k2，-2k1+2k2，
C21+2k2，0kAC=2k1+2k241+2k2=k2，
直线AC∶y=k2x-21+2k2
代入x24+y22=1得到1+k22 x2-2k21+2k2x-4+6k21+2k2=0，解得xB=4+6k2(2+k2)1+2k2，
kPB=yB-yPxB-xP=k2xB-21+2k2xB-21+2k2=-4k4k2=-1k. ∴ kPA•kPB=k•-1k=-1，PA⊥PB.
解法二：由题意设 P(x1，y1)，B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0），设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=0-（-y2）x1-(-x1)=y12x1=k2.从而k1k+1=2k1k2+1=2•y2-y1x2-x1•y2-(-y1)x2-(-x1)+1=2(y22-y21)x21-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21=4-4x22-x21=0
∴ kk1=-1∴ PA⊥PB.
二、 新解
本题第（1）（2）两问都比较简单，第（3）问稍微繁琐，答案提供了两种解法，在这里，笔者再提供两种解法.
解法三：点差法
由题意设P(x1，y1)，B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），
∵ A、C、B三点共线，∴ kAC=kAB，y12x1=y2+y1x2+x1，
又因为点P、B在椭圆上，∴ x214+y212=1，x224+y222=1，两式相减得：
（x1-x2）（x1+x2）4+（y1-y2）（y1+y2）2=0
kPB=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)
∴ kPAkPB=y1x1-x1+x22（y1+y2）=2（y1+y2）x1+x2•-x1+x22（y1+y2）=-1∴ PA⊥PB.
解法四：利用韦达定理证垂直
设 P(x1，y1)，B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），
∵ kAB=kAC，kAC=y12x1，k=2y12x1
∴ kAB=k2联立：y=k2（x-x1）
x24+y22=1消y得，（k2+2）x2-2k2x1x+k2x21-8=0，根据韦达定理，
-x1+x2=2k2x1k2+2,则AB两点的中点Qk2x1k2+2,-kx1k2+2，
则kOQkAP=-kx1k2+2k2x1k2+2. k=-1,OQ⊥AP，从而BP⊥AP.
三、 推广
在什么样的椭圆中会有这样的结论？或者一般地，对于有心二次曲线而言，原题中的结论是否成立呢？我们将完全解决它.
定理1：已知椭圆x2a2+y2b2=1，过原点O任做直线与椭圆交于AP两点，过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交椭圆于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则PA⊥PB（即|α-β|=π2）的充要条件是a2=2b2.
证明：设P（x1，y1），B（x2，y2）则A(-x1，-y1)，C（x1，0），∵ A、C、B共线∴ y2+y1x2+x1=y12x1
∴ kPA•kPB=y1x1•y2-y1x2-x1=2•y2+y1x2+x1•y2-y1x2-x1=2•y22-y21x22-x21=2b21-x22a2-b21-x21a2x22-x21=-2b2a2.
因此，PA⊥PBkPA•kPB=-1a2=2b2.证毕.
定理2：已知双曲线x2a2-y2b2=1，过原点O任做直线与双曲线交于AP两点（P在第一象限），过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交双曲线于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则α+β=π2的充要条件是a2=2b2.
证明：设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），∵ A、C、B共线∴ y2+y1x2+x1=y12x1
∴ kPA•kPB=y1x1•y2-y1x2-x1=2•y2+y1x2+x1•y2-y1x2-x1=2•y22-y21x22-x21=2b2x22a2-1-b2x21a2-1x22-x21=2b2a2.
又 ∴ kPA=tanα＞0，kPB=tanβ＞0∴ tanα•tanβ=2b2a2.
因此α+β=π2tanα•tanβ=1a2=2b2. 证毕.
推论1：已知双曲线x2a2-y2b2=1，过原点O任做直线与双曲线交于AP两点（P在第二象限），过P做PC垂直于x轴，垂足为C，连接AC交双曲线于B，直线PA，PB的倾斜角分别是α，β，则α+β=3π2的充要条件是a2=2b2.
证明同定理2，略.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文