频率和概率的区别与联系

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  小学里同学们就已经了解了有关事件发生的等可能性、游戏规则的公平性,并能进行简单事件发生的可能性的计算;到初中以后,开始系统学习概率,初步了解频率与概率的关系,所以概率知识对同学们来说并不陌生。但一部分同学认为随机事件都是等可能事件,并且只学会了用列举法求随机事件的概率,机械地运用公式,即使有时能用随机事件发生的频率估算概率,但是对于频率和概率之间的关系却不能形成正确认识。
  在自然界和人类社会中,严格意义上的确定性现象是非常有限的,相反,不确定现象(又称随机现象)却大量存在,而概率正是这种随机现象的数学描述。概率,又称机会率、机率或可能性,是数学概率论的基本概念,是一个在0到1之间的实数,是对随机事件发生可能性的度量。表示一个事件可能性大小的数,就叫做该事件的概率。人们常说某人有百分之多少的把握通过这次考试、某件事发生可能性是多少,这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n,不是指n次事件里必有一次发生该事件,而是说此事件发生的频率接近于1/n这个数值。频率,是指在相同的条件下进行了n次试验,在这n次试验中事件A发生的次数n(A)称为事件A发生的频数,比值n(A)/n称为事件A的频率,并记为fn(A),用文字表示定义为:每个对象出现的次数与总次数的比值就是频率。其实频率实验中事件发生的具体比率。概率是个抽象的数学概念。简单的说,概率是一般,频率是特殊。
  要想更好地掌握这两个实用知识,必须知道它们之间的关系。
  首先, 频率和概率是相互联系的。
  某个试验如果只能进行一次,在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言。事实上,频率稳定于概率这个结论,是针对在相同的条件下,大量的重复试验而言的。如果在试验的次数不多的前提下,用频率来估计概率是不太合适的. 例如,抛掷一枚质地均匀的硬币,如果我们只抛了20次,结果发现正面朝上有5次,就认为正面朝上的概率大约为0.25,这样的结论我们肯定不会接受的,误差太大了。如果我们不断试验就会得到不同的试验值,也会越来越接近于这个事件的理论值0.5(见表格)。所以频率稳定于概率是对大量的实验而言的。
  在大量的重复的试验中,事件发生的频率会稳定地在概率附近摆动,因此我们在生活中也常常采用这种方法,求得随机事件的频率,来估计随机事件发生的概率。
  在多次重复试验中,一个事件发生的频率越大,说明在一次试验中该事件发生的可能性也就越大, 反之就小。 同样道理,事件的概率越大,在重复试验中,该事件的发生就比较频繁,因此事件的频率也较大。这就是说概率的现实意义是可以用频率来解释的,它能帮助人们做出合理的决策,但不可以替代。
  其次,两者还有本质的区别。
  频率在试验之前是不能确定的,它随着实验的次数变化而变化,即使两次重复试验的次数相同,关注事件出现的次数也可能不同,结果( 频率) 也就可能不同.频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量.而概率是完全决定于事件的本身,先于试验而客观存在的,它不会随着试验次数的增加而发生变化。 譬如,抛掷一枚正六面体骰子,出现同一数字向上的概率是1/6、,与做多少次试验无关。
  有时某个事件发生的概率较大,按道理该事件发生的可能性也应该较大,但是在多次试验中该事件有可能就不发生;反之概率小,但在一次或两次试验中就有可能发生。 这正是事件的随机性与概率的确定性的区别特征。如我们买体育彩票就是这样,尽管中特等奖的概率很小,但是并不是不能中奖,或许买一张也会中大奖的。
  事实告诉我们,概率是频率在理论上的一种期望值,即使你重复试验也无法得到准确值,它始终是个近似值。概率其实是频率的科学抽象,如抛一枚正六面体骰子,在试验次数很大时,同一数字朝上,都会在常数1/6 附近摆动;再如抛掷一枚硬币,不断重复试验,正面朝上和反面朝上的比值会接近1:1……这个结果是不以人的意志为转移的,但次数相当多时,试验值会更接近理论值,这对于我们研究事件是会有帮助的。
  不过有人认为“试验次数越多,用频率估计概率就会越准确”,这样的说法其实不够严密。如果一个不透明口袋里有红白两个球,从中取出一个球后再放回,重复500次,或者1000次,按道理拿到白球的频率应该接近0.5,但事实上就有可能差距很大。所以说随机现象有其偶然性,也有其必然性,这就是表现在大量试验中随机事件出现频率的稳定性,一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动(尽管在许多场合这个固定的常数很容易被确定),这种现象被称为统计规律。
  概率知识在日常生活和科学研究中有着广泛的应用,所以学习了概率,我们可以体会概率模型的作用以及运用概率思考问题的特点,形成用随机观念观察和分析问题的意识,从而解决一些简单的实际问题。
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