【摘要】以常见问题的求解与思考为例，通过一题多解、一题多变的形式，引导学生在高等数学的学习过程中加深对发散性思维能力的训练与培养.
　　【关键词】一题多解；一题多变；发散性思维
　　众所周知，数学一向被称为探索和发明的乐土，是一种理性的思维.对数学理性思维的训练,其作用是其他学科难以替代的,而这种理性思维的培养对大学生全面素质的提高、分析问题能力的加强、创新意识的启迪都是至关重要的.
　　数学理性思维包括多种形式，其中之一就是发散性思维.在高等数学中“一题多解”和“一题多变”就是典型的发散性思维.
　　一、一题多解
　　例1 求∫dxx21+x2(x>0).
　　解法一 用凑微分法
　　∫dxx21+x2=∫dxx31x2+1=-12∫d1x2+11x2+1
　　=-1x2+1+C=-1+x2x+C.
　　解法二 用双曲函数代换，设x=sht，则dx=chtdt，于是
　　∫dxx21+x2=∫chtdtsh2tch2t=∫1sh2tdt
　　=-chtsht+C=-1+x2x+C.
　　解法三 用倒代换，令x=1u，则dx=-1u2du，于是
　　∫dxx21+x2=-∫uduu2+1=-u2+1+C
　　=-1+x2x+C.
　　解法四 用三角函数代换，设x=tant，则dx=sec2tdt，于是
　　∫dxx21+x2=∫sec2tdttan2t•sect=∫costsin2tdt
　　=∫d(sinx)sin2x=-1sinx+C
　　=-1+x2x+C.
　　从上例我们可以看到积分方法灵活多样，通过计算这样一个题目，不但使读者运用了多种计算不定积分的方法，更重要的是培养了读者发散式思考问题的思维方法.
　　二、一题多变
　　例2 试求微分方程xy″-y′=x2的通解.
　　解法一（降阶法） 令y′=p，y″=p′，则原方程变为
　　xp′-p=x2p′-1xp=x.
　　它是关于p的一阶线性微分方程，
　　解得p=e∫1xdxxe∫-xdx+C+C1=x(x+C1).
　　即y′=x2+xC1，dy=(x2+xC1)dx，
　　两边积分，得原方程的通解y=x33+C1x2+C2.
　　解法二 将方程两边同时乘以x，则原方程可变为欧拉方程x2y″-xy′=x3，从而用欧拉方程的解法求出通解.
　　即令x=et，则可化成常系数线性方程d2ydt2-2dydt=e3t，
　　解得y=C1+C2e2t+13e3t，
　　代回原变量，得原方程通解y=x33+C1x2+C2.
　　解法三 将原方程改写成(xy′-2y′)′=x2，两边积分，
　　得xy′-2y′=13x3+C.
　　此方程是关于y的一阶线性微分方程，
　　解得通解y=x33+C1x2+C2.
　　解法四 若将原方程改写为xy″-y′x2=1，
　　即y′x′=1，两边积分，得y′x=x+C.
　　分离变量再积分，则原方程的通解为
　　y=x33+C1x2+C2.
　　此题的演算主要应用了：降阶法、欧拉方程的解法、线性微分方程的解法等等，通过一题多变的解法培养了学生在高等数学学习过程中的发散思维.
　　【参考文献】
　　［1］徐文雄.高等数学（上册）.北京：高等教育出版社，2004.
　　［2］李心灿.高等数学专题十二讲.北京：化学工业出版社，2001.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文