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【摘 要】在小学阶段，“数的运算”是非常基础也是非常重要的内容。教学时需要教师通过具体的、有意义的数学活动来促进学生主动思考，让算理的探索，从简单拼接转变为深度融合;算法的掌握，从简单模仿转变为深度理解;计算策略的形成，从简单迁移转变为深度关联。教师应抓住计算课堂的关键要素，聚焦学生思维活动的焦点，让计算教学深度展开。
【关键词】计算教学 深度融合 深度理解 深度关联
在小学阶段，“数的运算”的教学是非常基础也是非常重要的内容，在学生学习和生活中发挥着重要的作用。数学课程标准提出了“计算教学时，要增进对运算意义的理解”这一要求。小学生的数学思维正处在由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的数学学习往往是从直观感受开始，需要教师通过具体的有意义的数学活动来促进他们主动思考，理解算理，掌握算法，提升运算能力。
一、计算算理的探索，从简单拼接转变为深度融合
在计算教学中，数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。数是形的抽象概括，形是数的直观表现，它们在一定条件下可以相互转化。小学生的思维以直观形象思维为主，小学计算教学中的“数”通常是通过竖式或者等式来体现，以数辅形;“形”通常是通过学具操作来体现，以形助数。
但是实际计算教学中，有些教师会把“数”与“形”人为地割裂成独立的两个部分展开教学，割断了感性认识和理性思维的联系，使学生失去可持续性思维的张力。
例如，在教学苏教版数学三年级上册第四单元中的“笔算两位数除以一位数（首位不能整除）”时，教师通常会按照教材所呈现的线性结构，先出示例题主题图，再引导学生摆小棒分一分，在师生交流的基础上，告知学生可以用竖式计算，最后引领学生逐步得出计算法则。
表面上，教师通过让学生分小棒的操作，帮助学生建立了表象，仿佛引领学生认识了其中的算理，也遵循了先算理后算法的一般计算课的教学规律。学生在愉悦的环境中亲历了学具的操作，看似掌握了算法。其实，由于小学生思维品质的特点，自我控制能力较弱，短时记忆的能力较差，有效思维的时间较短，在学习列竖式计算时，已经“丢”了算理，只是单纯地在模仿计算。
中国数学家华罗庚先生曾经强调：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”计算课的一个重要特点就是它具有高度的抽象性，按照以下5个步骤（如图1～5），将学生直观生动的动手操作与高度抽象的竖式计算同步进行，推动算理与算法之间及时联结，有效促进两者深度融合，帮助学生获得对“笔算两位数除以一位数（首位不能整除）”算理的本质的理解。
52÷2，竖式中先算十位上的5÷2，商2余1，即先拿出5捆小棒中的4捆平均分成2份，每份是2捆，还余1捆;再把竖式中十位上余下的“1”和个位上的2合起来得12，12÷2商6，即把余下的1捆小棒拆分成10根后，和另外的2根合起来得12根，平均分成2份，每份是6根;最后得到竖式上的商是26，图中每份的2捆小棒和6根小棒合起来正好是26根。探索算理时，把先数后形或者先形后数的简单拼接转变为数形同步呈现，真正做到了数与形的深度融合。
二、计算方法的掌握，从简单模仿转变为深度理解
笔算是“抽象的算理，直观的算法”。实际的计算课教学中，有些教师往往会更关注显性、直观的计算方法的教学，忽视对相对内隐、抽象的计算法则的理解的教学，把笔算教学等同于简单的形式操练。这样直接导致学生出现模仿格式、机械计算的状况。学生对笔算兴趣不浓，对计算法则理解模糊，掌握不到位，这种情况下，面对形式多样但本质不变的计算题学生无法灵活运用计算法则顺利、正确地计算。
要转变学生计算时只会简单形式模仿的现状，就需要立足于“数学理解”来展开教学。数学理解的主体是学生，数学理解是一个动态的过程，是在计算教学的过程中不断产生、发展和深入的。
图6左边三个竖式计算都是“从低位算起”的。在教学“笔算两位数除以一位数（首位能整除）”的例题“42÷2”时，学生直接用原有的知识结构诠释新知，出现了图6最右边的竖式计算，先算个位上的“2÷2”，再算十位上的“40÷2”，算到哪一位，商就写在哪一位的上面，得出商是21。这是因为三年级学生受整数加、减、乘法竖式计算方法的影响，在思维定式的作用下，默认为“两位数除以一位数（首位能整除）”竖式计算时同样应该“从低位算起”。
两位数除以一位数（首位能整除）竖式计算是第一次出现“从高位算起”。在教师的引导下，学生借助分小棒的动手操作，先分整捆，每人分得2捆，是20根;再分单根，每人分得1根;最后把两次分的结果和起来是“21”。结合操作过程，学生表面上看似理解了上图中第四个竖式“从高位算起”的算理，其实，这一课时的情景还没有真正体现出为什么要“从高位算起”。有的同学先分单根，再分整捆，结果也是“21”，这种情况下，最右边的竖式计算是有一定道理的。
真正体现“从高位算起”的需求性的情景应该是两位数除以一位数（首位不能整除）的计算“52÷2”。
结合例题，分小棒时，有的学生先分2根，每人1根，再分5捆中的4捆，每人2捆，剩下的1捆拆成10根，继续平均分，每人5根，正好分完，最后把三次分的结果和起来：1 20 5=26;有的学生先分5捆，每份2捆，再把剩下的1捆拆开来，变成10根，和2根合起来继续平均分，每份6根，正好分完，最后把两次分的结果和起来：20 6=26。两种分法分别呈现后，引导学生观察比较，发现先分整捆，再分单根的方式比较简便。先分整捆，竖式中就体现为从高位除起。学生结合操作直观比较，亲身经历，真正理解了为什么要“从高位算起”，不仅知其然，还能知其所以然，促进了學生的数学理解走向深入。
三、计算策略的形成，从简单迁移转变为深度关联
在数学中进行混合运算时，需要遵循一定的计算规则。比较复杂的三步混合运算的运算顺序，除了常见的“先乘除、后加减”等运算顺序规则，还有一些灵活的“另类”运算顺序规则。 在教学苏教版数学四年级上册“不含括号的三步混合运算”时，教师引导学生根据分步列式的过程，列出综合算式，自然地引发学生理解和掌握相关运算顺序的心理需求。对于所列综合算式的运算顺序，学生“似曾相识”。教材没有做过多的讲解，而是精心设计了能提示运算顺序的填空，结合实际生活情境、解题经验，让学生发现在不影响运算结果的前提下，可以同时先计算两边的乘法再相加，使计算过程简略些。
但数学知识不是独立的，而是会相互作用的。学生在基本了解了这样的三步计算的运算顺序后，部分思维活跃的学生会对新知进行简单迁移，产生无意的联想。
生1：如果中间是减法，两边是乘法，是不是也可以这样灵活计算？
师：你能结合课本第70页的例题，试着提出一个最后一步是减法的问题吗？
生2：4副围棋的价格比3副中国象棋的价格贵多少？
（师指名列式，15×4-12×3）
（学生选择自己喜欢的方式计算，有的学生分三步逐步计算，有的学生同时计算两边的乘法再相减，最后分析比较，发现如果中间是减法，两边是乘法，也可以像例题一样灵活计算）
生3：我觉得两边同时是乘法或者除法，中间是加法或者减法，都可以像这样灵活计算。
生4：我觉得两边只要是乘除法，中间只要是加减法，都可以这样灵活计算。
（师引导学生分别举例，再通过计算进行验证，发现按学生发现的运算顺序计算是正确的）
课堂上，学生对新知有了一定程度的了解后，往往会有一些无意的联想超出了教师的预设，教师应给予学生充分展示自己想法的时间和空间，鼓励学生大胆表达自己的发现，然后通过举例、验证、辨析等数学方法与策略，逐步调整、完善，最终用比较规范的数学语言，表征概括出本质，发现其中的深度关联，自主完成知识建构，体会创新、创造的成就感。
德国教育家第斯多惠曾說：“教学的艺术不在传授本领，而在善于激励、唤醒和鼓舞。”三个转变，有效地抓住计算课堂的关键要素，教师聚焦学生思维活动的焦点展开深度教学，学生对运算意义的理解也真正落地生根。
【参考文献】
[1]杨美.关注理性思维发展
【关键词】计算教学 深度融合 深度理解 深度关联
在小学阶段，“数的运算”的教学是非常基础也是非常重要的内容，在学生学习和生活中发挥着重要的作用。数学课程标准提出了“计算教学时，要增进对运算意义的理解”这一要求。小学生的数学思维正处在由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的数学学习往往是从直观感受开始，需要教师通过具体的有意义的数学活动来促进他们主动思考，理解算理，掌握算法，提升运算能力。
一、计算算理的探索，从简单拼接转变为深度融合
在计算教学中，数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。数是形的抽象概括，形是数的直观表现，它们在一定条件下可以相互转化。小学生的思维以直观形象思维为主，小学计算教学中的“数”通常是通过竖式或者等式来体现，以数辅形;“形”通常是通过学具操作来体现，以形助数。
但是实际计算教学中，有些教师会把“数”与“形”人为地割裂成独立的两个部分展开教学，割断了感性认识和理性思维的联系，使学生失去可持续性思维的张力。
例如，在教学苏教版数学三年级上册第四单元中的“笔算两位数除以一位数（首位不能整除）”时，教师通常会按照教材所呈现的线性结构，先出示例题主题图，再引导学生摆小棒分一分，在师生交流的基础上，告知学生可以用竖式计算，最后引领学生逐步得出计算法则。
表面上，教师通过让学生分小棒的操作，帮助学生建立了表象，仿佛引领学生认识了其中的算理，也遵循了先算理后算法的一般计算课的教学规律。学生在愉悦的环境中亲历了学具的操作，看似掌握了算法。其实，由于小学生思维品质的特点，自我控制能力较弱，短时记忆的能力较差，有效思维的时间较短，在学习列竖式计算时，已经“丢”了算理，只是单纯地在模仿计算。
中国数学家华罗庚先生曾经强调：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”计算课的一个重要特点就是它具有高度的抽象性，按照以下5个步骤（如图1～5），将学生直观生动的动手操作与高度抽象的竖式计算同步进行，推动算理与算法之间及时联结，有效促进两者深度融合，帮助学生获得对“笔算两位数除以一位数（首位不能整除）”算理的本质的理解。
52÷2，竖式中先算十位上的5÷2，商2余1，即先拿出5捆小棒中的4捆平均分成2份，每份是2捆，还余1捆;再把竖式中十位上余下的“1”和个位上的2合起来得12，12÷2商6，即把余下的1捆小棒拆分成10根后，和另外的2根合起来得12根，平均分成2份，每份是6根;最后得到竖式上的商是26，图中每份的2捆小棒和6根小棒合起来正好是26根。探索算理时，把先数后形或者先形后数的简单拼接转变为数形同步呈现，真正做到了数与形的深度融合。
二、计算方法的掌握，从简单模仿转变为深度理解
笔算是“抽象的算理，直观的算法”。实际的计算课教学中，有些教师往往会更关注显性、直观的计算方法的教学，忽视对相对内隐、抽象的计算法则的理解的教学，把笔算教学等同于简单的形式操练。这样直接导致学生出现模仿格式、机械计算的状况。学生对笔算兴趣不浓，对计算法则理解模糊，掌握不到位，这种情况下，面对形式多样但本质不变的计算题学生无法灵活运用计算法则顺利、正确地计算。
要转变学生计算时只会简单形式模仿的现状，就需要立足于“数学理解”来展开教学。数学理解的主体是学生，数学理解是一个动态的过程，是在计算教学的过程中不断产生、发展和深入的。
图6左边三个竖式计算都是“从低位算起”的。在教学“笔算两位数除以一位数（首位能整除）”的例题“42÷2”时，学生直接用原有的知识结构诠释新知，出现了图6最右边的竖式计算，先算个位上的“2÷2”，再算十位上的“40÷2”，算到哪一位，商就写在哪一位的上面，得出商是21。这是因为三年级学生受整数加、减、乘法竖式计算方法的影响，在思维定式的作用下，默认为“两位数除以一位数（首位能整除）”竖式计算时同样应该“从低位算起”。
两位数除以一位数（首位能整除）竖式计算是第一次出现“从高位算起”。在教师的引导下，学生借助分小棒的动手操作，先分整捆，每人分得2捆，是20根;再分单根，每人分得1根;最后把两次分的结果和起来是“21”。结合操作过程，学生表面上看似理解了上图中第四个竖式“从高位算起”的算理，其实，这一课时的情景还没有真正体现出为什么要“从高位算起”。有的同学先分单根，再分整捆，结果也是“21”，这种情况下，最右边的竖式计算是有一定道理的。
真正体现“从高位算起”的需求性的情景应该是两位数除以一位数（首位不能整除）的计算“52÷2”。
结合例题，分小棒时，有的学生先分2根，每人1根，再分5捆中的4捆，每人2捆，剩下的1捆拆成10根，继续平均分，每人5根，正好分完，最后把三次分的结果和起来：1 20 5=26;有的学生先分5捆，每份2捆，再把剩下的1捆拆开来，变成10根，和2根合起来继续平均分，每份6根，正好分完，最后把两次分的结果和起来：20 6=26。两种分法分别呈现后，引导学生观察比较，发现先分整捆，再分单根的方式比较简便。先分整捆，竖式中就体现为从高位除起。学生结合操作直观比较，亲身经历，真正理解了为什么要“从高位算起”，不仅知其然，还能知其所以然，促进了學生的数学理解走向深入。
三、计算策略的形成，从简单迁移转变为深度关联
在数学中进行混合运算时，需要遵循一定的计算规则。比较复杂的三步混合运算的运算顺序，除了常见的“先乘除、后加减”等运算顺序规则，还有一些灵活的“另类”运算顺序规则。 在教学苏教版数学四年级上册“不含括号的三步混合运算”时，教师引导学生根据分步列式的过程，列出综合算式，自然地引发学生理解和掌握相关运算顺序的心理需求。对于所列综合算式的运算顺序，学生“似曾相识”。教材没有做过多的讲解，而是精心设计了能提示运算顺序的填空，结合实际生活情境、解题经验，让学生发现在不影响运算结果的前提下，可以同时先计算两边的乘法再相加，使计算过程简略些。
但数学知识不是独立的，而是会相互作用的。学生在基本了解了这样的三步计算的运算顺序后，部分思维活跃的学生会对新知进行简单迁移，产生无意的联想。
生1：如果中间是减法，两边是乘法，是不是也可以这样灵活计算？
师：你能结合课本第70页的例题，试着提出一个最后一步是减法的问题吗？
生2：4副围棋的价格比3副中国象棋的价格贵多少？
（师指名列式，15×4-12×3）
（学生选择自己喜欢的方式计算，有的学生分三步逐步计算，有的学生同时计算两边的乘法再相减，最后分析比较，发现如果中间是减法，两边是乘法，也可以像例题一样灵活计算）
生3：我觉得两边同时是乘法或者除法，中间是加法或者减法，都可以像这样灵活计算。
生4：我觉得两边只要是乘除法，中间只要是加减法，都可以这样灵活计算。
（师引导学生分别举例，再通过计算进行验证，发现按学生发现的运算顺序计算是正确的）
课堂上，学生对新知有了一定程度的了解后，往往会有一些无意的联想超出了教师的预设，教师应给予学生充分展示自己想法的时间和空间，鼓励学生大胆表达自己的发现，然后通过举例、验证、辨析等数学方法与策略，逐步调整、完善，最终用比较规范的数学语言，表征概括出本质，发现其中的深度关联，自主完成知识建构，体会创新、创造的成就感。
德国教育家第斯多惠曾說：“教学的艺术不在传授本领，而在善于激励、唤醒和鼓舞。”三个转变，有效地抓住计算课堂的关键要素，教师聚焦学生思维活动的焦点展开深度教学，学生对运算意义的理解也真正落地生根。
【参考文献】
[1]杨美.关注理性思维发展