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【摘 要】文章中首先引入L等差数列组集合的概念，把素数分布范围压缩到L等差数列组集合中来，以便研究素数分布的规律性；并推导出素数的个数公式和素数分布的规律性。
【关键词】L等差数列组集合；行内素数；行内合数；素数个数公式
1. L等差数列组集合概念的引入 先把数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3、……）。接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。这个小“分体”叫做L等差数列组集合（简称L组集合）。
L等差数列组集合用图表表示如下：
第Ⅰ列第Ⅱ列第Ⅲ列第Ⅳ列第Ⅴ列第Ⅵ列第Ⅶ列第Ⅷ列行数
在L组集合图表中，用·点标记的数是合数。
L组集合的性质：
命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。
证明：L组集合是由下列八个等差数列合并而成的7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t，所以素数2、3、5不包含于L组集合。由狄利克莱(Dirichlet)定理可知，形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的素数都有无穷之多，而且这八个数列分别包含等差数列37+30t、41+30t、43+30t、47+30t、49+30t、53+30t、59+30t、61+30t；67+30t、71+30t、73+30t、77+30t、79+30t、83+30t、89+30t、91+30t；…；…；……。因此，在L组集合里包含有除2、3、5以外的一切素数。
命题2：在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素數相乘的积(即同一个素数的乘方或者两个或者两个以上素数相乘的积)。证明略。
L组集合的表示法：
L组集合用Y表示。象7、11、13、17、19、23、29、31等八个数为一体叫做行。行里所包含的每一个数叫做元素。因为每一个行里都有八个元素，所以z个行里所包含的元素的总个数Y就等于8z。
L组集合元素具有顺序性，这与普通集合元素有区别，所以不许把元素的排列顺序打错。因此可以引入行内素数的概念。
行内素数：
在L组集合里，每一个行都有八个元素(即素数个数+合数个数=8个，这里也包括8个素数+0个合数或者0个素数+8个合数的两种特殊情形)，其中有一系列素数。这一系列素数叫做行内素数。行内素数的个数用m表示(这里m为0、1、2、…、8的整数)。行内素数具有顺序性，这里用m表示行内素数序，如：第2行里的素数47和61的行内素数序分别为4和7。
这样把素数的分布从自然数范围压缩到L组集合中来，以便之处理简单化。
2. 素数的个数公式 L组集合概念引进后，笔者根据n的两种不同的分布“位置”和L组集合的性质，摸索出素数的个数公式。
2.1 当n在L组集合第Ⅷ列数时：
当n为31、61、91、…、30t+31时，在L组集合里笔者用δ(n)表示不大于n的素数的个数。所以 δ（31）=8，δ（61）=15，δ（91）=21。
命题：在L组集合中，所包含的元素的总个数等于所包含的素数的总个数与所包含的合数的总个数之和。证明略。
由此可知，素数的个数公式是从这些元素的总个数减去所包含的合数的总个数，即δ（n）=8z-u。
这里z表示为L组集合的行数，u表示为z行以内所包含的合数的总个数。z行以内所包含的合数的总个数u，以u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13+…+p*q/p*q来确定（这里p、q均为L组集合的元素，p*q≤30t+31的合数）。
例题1：求π（151）。
解：因为z=［151/30］=5,所以151是在L组集合里位于第5行第Ⅷ类的数，又因为u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13=7,所以δ（151）=8z-u=8*5-7=33，故π（151）=δ（151）+3=33+3=36。
以上所叙述的是n在于数列30t+31的数时，求素数个数的问题，即
δ（n）= 8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)…………………（A）
2.2 当n在L组集合的第Ⅰ列-第Ⅶ列的数时：
也用δ（n）表示不大于n的素数的个数，即
δ（n）=8z-u+mˊ=8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)+ mˊ……（B）
这里z表示行数，u表示不大于n的合数的总个数，mˊ表示在第z行与第z+1行之间所包含的某一个被指定素数的序号，且0≤mˊ≤8的整数。
下面用（B）求出不大于n的素数的个数。
例题2：求δ（131）。
解：①先求出行内素数的个数：
因为121＜131＜151，又因为δ（151）-δ（121）=8*［151/30］-(7*7/7*7+…+7*19/7*19+11*11/11*11+11*13/11*13)-(8［121/30］-7*7/7*7-7*11/7*11-7*13/7*13-7*17/7*17-11*11/11*11)=8-133/133-143/143=6,所以行内素数（指被指定素数131所在的行内素数）有6个。 ②求出被指定素数的行内素数序：
在求出行内素数的个数过程中，已经知道行内合数，即133和143是合数，也会知道其他六个数都是素数的。因此，能确定131的行内素数序为mˊ=2。
③求出δ（n）：
δ（131)=8*［121/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+11*11/11*11)+2=32-5+2=29。
从上面提出的（A）式和（B）式中可以知道，（A）式包含于（B）式，实际上（A）式是在（B）式中mˊ=0的情形。
3. 素数公式 已经证明，素数的整系数多项式表达式是不存在的。因为任何一个次数大于0的整系数多项式f（x），总不能对于x的任何自然数取n使f（n）都是素数，所以笔者用L组集合的性质探索素数公式。
命题：在L组集合里，任何相邻行内所包含的一系列行内素数的个数等于这两个行的终点所表示的数的素数个数之差。
证明：设m是第z行与第z+1行之间的素数个数，那么其行间合数的个数有8-m。又设第z行的终点所表示的数为x，那么第z+1行的终点所表示的数为x+30。
由于δ（x）=8*［x/30］-u ，
δ（x+30）=8*［x+30/30］-u-（8-m）=8*［x/30+1］-u-(8-m)；因此，得δ（x+30）-δ（x）=8*［x/30+1］-u-(8-m)-(8*［x/30］-u)=m。故命题得证。
命题：一系列行内素数必须组成连续素数。证明略。
举例：试求1～151以内的所有素数。
解：因为δ（31）=8*［31/30］-u=8-0=｛7、11、13、17、19、23、29、31｝=8个；δ（61）-δ（31）=｛37、41、43、47、53、59、61｝=7个；δ（91）-δ（61）=｛67、71、73、79、83、89｝=6个；δ（121）-δ（91）=｛97、101、103、107、109、113｝=6个；δ（151）-δ（121)=8*［151/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+7*19/7*19+11*11/11*11+11*13/11*13)-8*［121/30］+(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+11*11/11*11)=40-7-32+5=｛127、131、137、139、149、151｝=6个。所以7～151以内的所有素数是7、11、…、31、37、41、…、61、67、…、89、97、…、113、127、131、…、151等8+7+6+6+6=21+12=33个。因此1～151以内的所有素数是2、3、5、7、……、149、151等36个。
由此可知，在［30t+31、30（t+1）+31］范圍内必有素数的结论（注意：L组集合的图表扩展到524行或者539、655、843、850、…行（即到素数间隔有777为止）时，可以发现行内素数等于0的情况），或者有不超过8个素数的结论。又知道在这个范围内的一系列行内素数的个数跟这些行内素数是相互对应的关系。因此 行内素数的个数公式的集合是
{m }={δ(［30（t+1）+31/30］)-δ（30t+31/30）}
={8*［30（t+1）+31/30］-u-(8-m)-(8*［30t+31/30］-u)}
={8-{行内合数个数}}。
举例：已知π（89）=24，求x使π（x）=50。
解：已知π（89）=24，所以δ（89）=24-3=21=δ（91），δ（x）=π（x）-3=50-3=47。
由素数个数公式，得 δ（121）=27，δ（151）=33，δ（181）=39，
δ（211）=44，δ（241）=50；所以利用行内素数的个数公式，得
δ（121）-δ（91）=27-21=6=｛97、101、103、107、109、113｝；
δ（151）-δ（121）=33-27=6=｛127、131、137、139、149、151｝；
δ（181）-δ（151）=39-33=6=｛157、163、167、173、179、181｝；
δ（211）-δ（181）=44-39=5=｛191、193、197、199、211｝；
δ（241）-δ（211）=50-44=6=｛223、227、229、233、239、241｝。
又因为δ（x）=π（x）-3=50-3=47=21+6+6+6+5+3，所以δ（229）=47。因此x=229。
由行内素数的个数公式知道，它的前十行的一系列行内素数是：
第一行：7、11.13、17、19、23、29、31共有8个素数；
第二行：37、41、43、47、53、59、61共有7个素数；
………………………………………………………………
第十行：277、281、283、293共有4个素数。
这就说明素数公式的客观性。
因此笔者提出素数公式是在［30t+31、30（t+1）+31］范围内的行内素数的个数集合的观点，即
{m}={δ（30（t+1）+31）-δ（30t+31）}={8-{行内合数个数}}。
举例：求素数211后的紧相邻的素数。
解：因为［211/30］=7,所以利用行内素数个数公式，得δ（211+30）-δ（211）=δ（241）-δ（211）=8*［241/30］-（7*7/7*7+7*11/7*11+…+7*31/7*31+11*11/11*11+……+11*19/11*19+13*13/13*13+13*17/13*17)-(8*［211/30］-7*7/7*7+7*11/7*11+…+7*29/7*29+11*11/11*11+…+11*19+13*13/13*13)=64-56-7*31/7*31-13*17/13*17=8-2=6={223、227、229、233、239、241}。因此所求的素数是223。
另解：首先由211在L组集合中的“位置”（即第3行第Ⅷ类的数）和L组集合概念，求出它的下一个行的L组集合的元素就有{217、221、223、227、229、233、239、241}；然后利用行内素数的个数公式求出所要求的素数，即223。
4. 素数分布的规律性 素数按照L组集合的方式分布的。即从L组集合图表的元素中划去7*（30t+7）、7*（30t+11）、7*（30t+13）、7*（30t+17）、7*（30t+19）、7*（30t+23）、7*（30t+29）、7*（30t+31）、……等奇合数，就得到素数数列（除2、3、5外）：7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、……。这就是素数分布的秘密。
5. 结论 以上所提出的素数个数公式和素数公式的理论依据是L组集合。数论里提出的哥德巴赫猜想命题、双生素数猜想命题［1］、素数的间隔等许多问题都用L组集合概念来解析的。人们梦寐所求的素数公式的关键是行内素数的个数公式的集合。
参考文献
［1］ 白鹤燮、安美花，“p——r”图与哥德巴赫猜想命题； 《现代教育教学探索》 09/2010
收稿日期：2012-07-13
【关键词】L等差数列组集合；行内素数；行内合数；素数个数公式
1. L等差数列组集合概念的引入 先把数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3、……）。接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。这个小“分体”叫做L等差数列组集合（简称L组集合）。
L等差数列组集合用图表表示如下：
第Ⅰ列第Ⅱ列第Ⅲ列第Ⅳ列第Ⅴ列第Ⅵ列第Ⅶ列第Ⅷ列行数
在L组集合图表中，用·点标记的数是合数。
L组集合的性质：
命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。
证明：L组集合是由下列八个等差数列合并而成的7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t，所以素数2、3、5不包含于L组集合。由狄利克莱(Dirichlet)定理可知，形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的素数都有无穷之多，而且这八个数列分别包含等差数列37+30t、41+30t、43+30t、47+30t、49+30t、53+30t、59+30t、61+30t；67+30t、71+30t、73+30t、77+30t、79+30t、83+30t、89+30t、91+30t；…；…；……。因此，在L组集合里包含有除2、3、5以外的一切素数。
命题2：在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素數相乘的积(即同一个素数的乘方或者两个或者两个以上素数相乘的积)。证明略。
L组集合的表示法：
L组集合用Y表示。象7、11、13、17、19、23、29、31等八个数为一体叫做行。行里所包含的每一个数叫做元素。因为每一个行里都有八个元素，所以z个行里所包含的元素的总个数Y就等于8z。
L组集合元素具有顺序性，这与普通集合元素有区别，所以不许把元素的排列顺序打错。因此可以引入行内素数的概念。
行内素数：
在L组集合里，每一个行都有八个元素(即素数个数+合数个数=8个，这里也包括8个素数+0个合数或者0个素数+8个合数的两种特殊情形)，其中有一系列素数。这一系列素数叫做行内素数。行内素数的个数用m表示(这里m为0、1、2、…、8的整数)。行内素数具有顺序性，这里用m表示行内素数序，如：第2行里的素数47和61的行内素数序分别为4和7。
这样把素数的分布从自然数范围压缩到L组集合中来，以便之处理简单化。
2. 素数的个数公式 L组集合概念引进后，笔者根据n的两种不同的分布“位置”和L组集合的性质，摸索出素数的个数公式。
2.1 当n在L组集合第Ⅷ列数时：
当n为31、61、91、…、30t+31时，在L组集合里笔者用δ(n)表示不大于n的素数的个数。所以 δ（31）=8，δ（61）=15，δ（91）=21。
命题：在L组集合中，所包含的元素的总个数等于所包含的素数的总个数与所包含的合数的总个数之和。证明略。
由此可知，素数的个数公式是从这些元素的总个数减去所包含的合数的总个数，即δ（n）=8z-u。
这里z表示为L组集合的行数，u表示为z行以内所包含的合数的总个数。z行以内所包含的合数的总个数u，以u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13+…+p*q/p*q来确定（这里p、q均为L组集合的元素，p*q≤30t+31的合数）。
例题1：求π（151）。
解：因为z=［151/30］=5,所以151是在L组集合里位于第5行第Ⅷ类的数，又因为u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13=7,所以δ（151）=8z-u=8*5-7=33，故π（151）=δ（151）+3=33+3=36。
以上所叙述的是n在于数列30t+31的数时，求素数个数的问题，即
δ（n）= 8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)…………………（A）
2.2 当n在L组集合的第Ⅰ列-第Ⅶ列的数时：
也用δ（n）表示不大于n的素数的个数，即
δ（n）=8z-u+mˊ=8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)+ mˊ……（B）
这里z表示行数，u表示不大于n的合数的总个数，mˊ表示在第z行与第z+1行之间所包含的某一个被指定素数的序号，且0≤mˊ≤8的整数。
下面用（B）求出不大于n的素数的个数。
例题2：求δ（131）。
解：①先求出行内素数的个数：
因为121＜131＜151，又因为δ（151）-δ（121）=8*［151/30］-(7*7/7*7+…+7*19/7*19+11*11/11*11+11*13/11*13)-(8［121/30］-7*7/7*7-7*11/7*11-7*13/7*13-7*17/7*17-11*11/11*11)=8-133/133-143/143=6,所以行内素数（指被指定素数131所在的行内素数）有6个。 ②求出被指定素数的行内素数序：
在求出行内素数的个数过程中，已经知道行内合数，即133和143是合数，也会知道其他六个数都是素数的。因此，能确定131的行内素数序为mˊ=2。
③求出δ（n）：
δ（131)=8*［121/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+11*11/11*11)+2=32-5+2=29。
从上面提出的（A）式和（B）式中可以知道，（A）式包含于（B）式，实际上（A）式是在（B）式中mˊ=0的情形。
3. 素数公式 已经证明，素数的整系数多项式表达式是不存在的。因为任何一个次数大于0的整系数多项式f（x），总不能对于x的任何自然数取n使f（n）都是素数，所以笔者用L组集合的性质探索素数公式。
命题：在L组集合里，任何相邻行内所包含的一系列行内素数的个数等于这两个行的终点所表示的数的素数个数之差。
证明：设m是第z行与第z+1行之间的素数个数，那么其行间合数的个数有8-m。又设第z行的终点所表示的数为x，那么第z+1行的终点所表示的数为x+30。
由于δ（x）=8*［x/30］-u ，
δ（x+30）=8*［x+30/30］-u-（8-m）=8*［x/30+1］-u-(8-m)；因此，得δ（x+30）-δ（x）=8*［x/30+1］-u-(8-m)-(8*［x/30］-u)=m。故命题得证。
命题：一系列行内素数必须组成连续素数。证明略。
举例：试求1～151以内的所有素数。
解：因为δ（31）=8*［31/30］-u=8-0=｛7、11、13、17、19、23、29、31｝=8个；δ（61）-δ（31）=｛37、41、43、47、53、59、61｝=7个；δ（91）-δ（61）=｛67、71、73、79、83、89｝=6个；δ（121）-δ（91）=｛97、101、103、107、109、113｝=6个；δ（151）-δ（121)=8*［151/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+7*19/7*19+11*11/11*11+11*13/11*13)-8*［121/30］+(7*7/7*7+7*11/7*11+7*13/7*13+7*17/7*17+11*11/11*11)=40-7-32+5=｛127、131、137、139、149、151｝=6个。所以7～151以内的所有素数是7、11、…、31、37、41、…、61、67、…、89、97、…、113、127、131、…、151等8+7+6+6+6=21+12=33个。因此1～151以内的所有素数是2、3、5、7、……、149、151等36个。
由此可知，在［30t+31、30（t+1）+31］范圍内必有素数的结论（注意：L组集合的图表扩展到524行或者539、655、843、850、…行（即到素数间隔有777为止）时，可以发现行内素数等于0的情况），或者有不超过8个素数的结论。又知道在这个范围内的一系列行内素数的个数跟这些行内素数是相互对应的关系。因此 行内素数的个数公式的集合是
{m }={δ(［30（t+1）+31/30］)-δ（30t+31/30）}
={8*［30（t+1）+31/30］-u-(8-m)-(8*［30t+31/30］-u)}
={8-{行内合数个数}}。
举例：已知π（89）=24，求x使π（x）=50。
解：已知π（89）=24，所以δ（89）=24-3=21=δ（91），δ（x）=π（x）-3=50-3=47。
由素数个数公式，得 δ（121）=27，δ（151）=33，δ（181）=39，
δ（211）=44，δ（241）=50；所以利用行内素数的个数公式，得
δ（121）-δ（91）=27-21=6=｛97、101、103、107、109、113｝；
δ（151）-δ（121）=33-27=6=｛127、131、137、139、149、151｝；
δ（181）-δ（151）=39-33=6=｛157、163、167、173、179、181｝；
δ（211）-δ（181）=44-39=5=｛191、193、197、199、211｝；
δ（241）-δ（211）=50-44=6=｛223、227、229、233、239、241｝。
又因为δ（x）=π（x）-3=50-3=47=21+6+6+6+5+3，所以δ（229）=47。因此x=229。
由行内素数的个数公式知道，它的前十行的一系列行内素数是：
第一行：7、11.13、17、19、23、29、31共有8个素数；
第二行：37、41、43、47、53、59、61共有7个素数；
………………………………………………………………
第十行：277、281、283、293共有4个素数。
这就说明素数公式的客观性。
因此笔者提出素数公式是在［30t+31、30（t+1）+31］范围内的行内素数的个数集合的观点，即
{m}={δ（30（t+1）+31）-δ（30t+31）}={8-{行内合数个数}}。
举例：求素数211后的紧相邻的素数。
解：因为［211/30］=7,所以利用行内素数个数公式，得δ（211+30）-δ（211）=δ（241）-δ（211）=8*［241/30］-（7*7/7*7+7*11/7*11+…+7*31/7*31+11*11/11*11+……+11*19/11*19+13*13/13*13+13*17/13*17)-(8*［211/30］-7*7/7*7+7*11/7*11+…+7*29/7*29+11*11/11*11+…+11*19+13*13/13*13)=64-56-7*31/7*31-13*17/13*17=8-2=6={223、227、229、233、239、241}。因此所求的素数是223。
另解：首先由211在L组集合中的“位置”（即第3行第Ⅷ类的数）和L组集合概念，求出它的下一个行的L组集合的元素就有{217、221、223、227、229、233、239、241}；然后利用行内素数的个数公式求出所要求的素数，即223。
4. 素数分布的规律性 素数按照L组集合的方式分布的。即从L组集合图表的元素中划去7*（30t+7）、7*（30t+11）、7*（30t+13）、7*（30t+17）、7*（30t+19）、7*（30t+23）、7*（30t+29）、7*（30t+31）、……等奇合数，就得到素数数列（除2、3、5外）：7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、……。这就是素数分布的秘密。
5. 结论 以上所提出的素数个数公式和素数公式的理论依据是L组集合。数论里提出的哥德巴赫猜想命题、双生素数猜想命题［1］、素数的间隔等许多问题都用L组集合概念来解析的。人们梦寐所求的素数公式的关键是行内素数的个数公式的集合。
参考文献
［1］ 白鹤燮、安美花，“p——r”图与哥德巴赫猜想命题； 《现代教育教学探索》 09/2010
收稿日期：2012-07-13