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一、实验背景与目的
高中数学课程标准指出,高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学的应用意识,提高实践能力.
为贯彻落实这新课程精神,我特地设立函数模型专题的教学实验,目的是通过例题和案例的分析来培养学生应用数学的意识,加强函数建模训练:引导学生亲身体验数学建模过程,学会实际问题的建模方法,掌握解答应用题的基本步骤;帮助学生阅读、理解对问题进行陈述的材料,理解问题的背景;教会学生分析题目中的数量关系,并能从实际问题出发,恰当地引入变量,运用已有的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表示出来,建立函数式(包括定义域),将应用问题转化为数学问题求解,并准确地将所求结果表述为实际问题.
二、实验内容
1. 向学生简单介绍数学建模的知识.
(1)数学建模是什么?数学建模的对象有许多是应用题,但数学建模所涵盖的范围比应用题要大得多.广义看,数学的许多分支的产生和发展都经历了一个从“问题——建模——扩展完善模型——应用——新的问题和更广泛的模型……”这样一个过程.我们学过的和即将要学习的函数、向量、坐标系、方程组都可以看作是解决一类问题的数学模型.比如二元一次方程是鸡兔同笼的数学模型,一次函数是匀速直线运动的数学模型,一笔画是解决七桥问题的数学模型,等等.常见的文字应用题的求解过程常常是找出相应的函数或方程(组)模型,再用之求解.粗略地看,狭义的数学建模处理的对象是一些复杂的应用问题,它需要你自己去挖掘、采集有用信息,自己去提出模型的假设;问题求解的方式多种多样,目标可以有不同的层次,结论也常常需要在多次反复中得到修正.
(2)怎样建立数学模型?建模要由变量之间的依存关系建立函数关系,解题的关键在于正确分析问题中量与量之间的内在本质联系,抓住主要因素进行抽象,其基本步骤是“四步八字”,即:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③求模:求解数学模型,得出数学结论;④还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
(3)常见的函数模型有哪些?一是代数函数模型,这是一种较为简便的函数模型,在这种模型中,变量与变量之间满足一个代数方程;二是指数函数模型,这种指数函数模型的特点是:当一个变量算术地增长时,另一变量则按一定的比例倍数地增长.
2. 例题与案例选讲(略).
3. 布置相关练习题与假期探究设计题(练习题略),探究设计题如下:改编我们课本或练习中的应用题;购买同一种商品是大包装还是小包装经济;制作立体几何模型或工艺品;对私人购车的预测与讨论;寻找红绿灯变化的时间与车流量的关系;对考试成绩的分析与处理;寻找某几个学科的成绩之间的关系;怎样处理我们的利是最好;怎样储蓄获得的利息多;坐长距离出租车怎样付费划算;寻找工厂里的数学问题;通过调查本街道或本区的人口变化情况,或者查阅有关人口的资料以及电脑网络(可参考提供的书籍和网址,或利用搜索引擎查找),了解我国、我国某地区或世界某地区的人口情况,建立函数模型来预测未来的人口变化情况.
另外也可让学生结合生活实际研究一些自己感兴趣的问题,或者上网寻找自己乐于研究的问题,如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气)、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)、绿化问题(控制栽树和伐树的比例保护环境),等等.
要求:学生可以自己发现或提出某些问题,甚至解决问题;学生可以单独解决某一个问题,也可小组分工合作,共同研究;可以利用图形计算器、电脑等各种工具进行探究;解决问题的方式可以是小论文、模型或研究报告.
三、成果展示与交流
先收集学生的作品,然后将探究设计题分几个类型分期进行交流.
例如学生用几何画板进行数据拟合,验证数学物理成绩的相关性(如图,这是一个学生的作品,把两个成绩分别作为横纵坐标描出散点图,并得出回归方程).
教师点评:能利用数学的统计规律去解释生活现实,具备一定的数学应用意识.
又如学生研究人口问题, 一研究小组的研究报告如下:
教师点评:这四名学生能够积极查资料,进行调查研究,并认真对数据进行分析处理,通过大量的运算比较,终于得到相对较接近的模拟函数,其研究探索的科学精神和学习的态度值得赞扬.
四、实验后反思
1. 高中数学应用和数学建模可以以多种形式展开,即结合正常的课堂教学,在部分环节上“切入”应用和建模的内容:在集合部分可切入计数问题,体育比赛的场次问题等;在函数部分可切入校车设站问题,线性拟合,同种商品按包装大小的定价问题等;在数列部分切入人口增长,资产折旧,生物种群的变化,存款、还贷、分期付款等问题;在立体几何部分可切入模型制作大赛,电视天线的布线,电视塔与卫星问题,电缆求长,等等.
2. 应多引导学生在平时的学习中结合生活实际,挖掘教材中的素材,提出问题,创设问题情景,积极主动地分析、探究、交流与实践,有针对性地开展一些研究性学习课题,学会用现代计算工具进行探究活动.
3. 在平时的教学中应该注重多从具体的事物提炼数学问题,引导学生用数学知识来解决日常生活中的一些问题,帮助学生形成应用数学的意识,逐渐让学生从生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.
责任编辑 罗 峰
高中数学课程标准指出,高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学的应用意识,提高实践能力.
为贯彻落实这新课程精神,我特地设立函数模型专题的教学实验,目的是通过例题和案例的分析来培养学生应用数学的意识,加强函数建模训练:引导学生亲身体验数学建模过程,学会实际问题的建模方法,掌握解答应用题的基本步骤;帮助学生阅读、理解对问题进行陈述的材料,理解问题的背景;教会学生分析题目中的数量关系,并能从实际问题出发,恰当地引入变量,运用已有的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表示出来,建立函数式(包括定义域),将应用问题转化为数学问题求解,并准确地将所求结果表述为实际问题.
二、实验内容
1. 向学生简单介绍数学建模的知识.
(1)数学建模是什么?数学建模的对象有许多是应用题,但数学建模所涵盖的范围比应用题要大得多.广义看,数学的许多分支的产生和发展都经历了一个从“问题——建模——扩展完善模型——应用——新的问题和更广泛的模型……”这样一个过程.我们学过的和即将要学习的函数、向量、坐标系、方程组都可以看作是解决一类问题的数学模型.比如二元一次方程是鸡兔同笼的数学模型,一次函数是匀速直线运动的数学模型,一笔画是解决七桥问题的数学模型,等等.常见的文字应用题的求解过程常常是找出相应的函数或方程(组)模型,再用之求解.粗略地看,狭义的数学建模处理的对象是一些复杂的应用问题,它需要你自己去挖掘、采集有用信息,自己去提出模型的假设;问题求解的方式多种多样,目标可以有不同的层次,结论也常常需要在多次反复中得到修正.
(2)怎样建立数学模型?建模要由变量之间的依存关系建立函数关系,解题的关键在于正确分析问题中量与量之间的内在本质联系,抓住主要因素进行抽象,其基本步骤是“四步八字”,即:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③求模:求解数学模型,得出数学结论;④还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
(3)常见的函数模型有哪些?一是代数函数模型,这是一种较为简便的函数模型,在这种模型中,变量与变量之间满足一个代数方程;二是指数函数模型,这种指数函数模型的特点是:当一个变量算术地增长时,另一变量则按一定的比例倍数地增长.
2. 例题与案例选讲(略).
3. 布置相关练习题与假期探究设计题(练习题略),探究设计题如下:改编我们课本或练习中的应用题;购买同一种商品是大包装还是小包装经济;制作立体几何模型或工艺品;对私人购车的预测与讨论;寻找红绿灯变化的时间与车流量的关系;对考试成绩的分析与处理;寻找某几个学科的成绩之间的关系;怎样处理我们的利是最好;怎样储蓄获得的利息多;坐长距离出租车怎样付费划算;寻找工厂里的数学问题;通过调查本街道或本区的人口变化情况,或者查阅有关人口的资料以及电脑网络(可参考提供的书籍和网址,或利用搜索引擎查找),了解我国、我国某地区或世界某地区的人口情况,建立函数模型来预测未来的人口变化情况.
另外也可让学生结合生活实际研究一些自己感兴趣的问题,或者上网寻找自己乐于研究的问题,如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气)、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)、绿化问题(控制栽树和伐树的比例保护环境),等等.
要求:学生可以自己发现或提出某些问题,甚至解决问题;学生可以单独解决某一个问题,也可小组分工合作,共同研究;可以利用图形计算器、电脑等各种工具进行探究;解决问题的方式可以是小论文、模型或研究报告.
三、成果展示与交流
先收集学生的作品,然后将探究设计题分几个类型分期进行交流.
例如学生用几何画板进行数据拟合,验证数学物理成绩的相关性(如图,这是一个学生的作品,把两个成绩分别作为横纵坐标描出散点图,并得出回归方程).
教师点评:能利用数学的统计规律去解释生活现实,具备一定的数学应用意识.
又如学生研究人口问题, 一研究小组的研究报告如下:
教师点评:这四名学生能够积极查资料,进行调查研究,并认真对数据进行分析处理,通过大量的运算比较,终于得到相对较接近的模拟函数,其研究探索的科学精神和学习的态度值得赞扬.
四、实验后反思
1. 高中数学应用和数学建模可以以多种形式展开,即结合正常的课堂教学,在部分环节上“切入”应用和建模的内容:在集合部分可切入计数问题,体育比赛的场次问题等;在函数部分可切入校车设站问题,线性拟合,同种商品按包装大小的定价问题等;在数列部分切入人口增长,资产折旧,生物种群的变化,存款、还贷、分期付款等问题;在立体几何部分可切入模型制作大赛,电视天线的布线,电视塔与卫星问题,电缆求长,等等.
2. 应多引导学生在平时的学习中结合生活实际,挖掘教材中的素材,提出问题,创设问题情景,积极主动地分析、探究、交流与实践,有针对性地开展一些研究性学习课题,学会用现代计算工具进行探究活动.
3. 在平时的教学中应该注重多从具体的事物提炼数学问题,引导学生用数学知识来解决日常生活中的一些问题,帮助学生形成应用数学的意识,逐渐让学生从生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.
责任编辑 罗 峰