2012年,Franca将线性保持问题的思想引入函数恒等式理论,在素环的非加法子集上讨论了加性映射的交换性.此后,函数恒等式领域的很多研究课题被拓展到域上n阶矩阵环的可逆矩阵集、奇异矩阵集、秩s矩阵集等非加法子集上.得到的结论既说明了上述子集在结构上的“全局性”,又反映了所论映射的“局部性”.本文也是在此研究框架下展开的,主要研究了秩s矩阵集上的乘法导子.在s相对小的情况下予以彻底解决,同时在可逆矩阵集上研究了一个特例,并予以彻底解决,具体结论如下.首先,设n,s 是整数,且满足2≤n,1≤s≤n/2.Mn(K)表示域K上全体n阶矩阵构成的环.如果对任意两个秩s矩阵x,y∈Mn(K),映射δ:Mn(K)→Mn(K)总满足δ(xy)=δ(x)y+δ(y),那么存在Mn(K)上的导子D,使得对每个秩k矩阵x,都有δ(x)=D(x),其中0≤k≤s.其次,作为应用,我们证明了在若干秩数的矩阵构成的集合上的乘法导子必为导子的结论,这也可作为导子的判别条件.最后,对于二元域Z2,我们证明了其上全体二阶可逆矩阵集合GL2(Z2)上的乘法导子在GL2(Z2)上等同于全阵环的一个导子.