广义Lyapunov方程在双线性系统的可控性,模型简化,线性随机系统稳定性分析和特殊线性随机微分方程等领域有广泛的应用.例如某些边界控制动力学中的非线性控制系统和双线性控制系统都可以转换为研究广义Lyapunov方程的性质以及求解.因此,研究这一类广义Lyapunov方程解的数值算法具有重要科学意义.本文首先针对实数域中的广义Lyapunov方程,使用求解线性系统的有效算法考虑矩阵方程,给出双共轭残差(BCR)算法,双共轭梯度稳定(Bi-CGSTAB)算法和共轭剩余平方(CRS)算法,并证明BCR算法的收敛性;其次针对复数域中的广义Lyapunov方程,基于矩阵分裂的思想给出广义修正HSS(GMHSS)算法,非精确广义修正HSS(IGMHSS)算法和加速双步分裂(ADSS)迭代算法,并且分析了对应算法的收敛性.第一章介绍广义Lyapunov方程的理论背景和研究现状,并给出本文所使用的相关记号以及预备知识,定义和引理.第二章在实数域上考虑广义Lyapunov方程的数值算法,引入求解线性系统的双共轭残差(BCR)算法,双共轭梯度稳定(Bi-CGSTAB)算法和共轭剩余平方(CRS)算法.我们运用Kronecker积和拉直算子的计算过程去考虑广义Lyapunov方程,可以得到矩阵版本的BCR算法,Bi-CGSTAB算法和CRS算法.通过引入参数和Cayley变换得到对应的三种新的矩阵版本算法,使其可以更有效地求解广义Lyapunov方程.最后列举了几个数值例子说明三种算法的有效性.第三章是针对复数域上广义Lyapunov方程的数值解法,基于求解标准Sylvester方程的广义修正HSS(GMHSS)算法,非精确广义修正HSS(IGMHSS)算法和加速双步分裂(ADSS)迭代算法进行推广得出求解广义Lyapunov方程的对应算法,在一定的条件下确保这三种算法的收敛性.算法的主要思想是将系数矩阵分解为两个矩阵相加,其中一个是正定矩阵属于实数域,另外一个是带有虚部的半正定矩阵,然后利用交替迭代算法的思想得到新算法.最后给出三个数值例子验证了算法的有效性。