分片代数曲线定义为二元样条函数零点的集合,是经典代数曲线的自然推广。由于分片代数曲线自身的难度,我们仅知道其很少的性质,其中最著名的就是分片代数曲线的Bezout定理。Bezout定理是传统代数几何的开卷定理,考虑Bezout定理在分片代数曲线中的推广（即两条分片代数曲线最多的有限的交点个数）对分片代数曲线的研究同样十分重要。经典代数曲线理论中的很多应用都需要Bezout定理的解决为前提,对于分片代数曲线Bezout数的任何实质性进展都将对分片代数簇产生深远的影响。通过结式定理,采用MATLAB程序与笛卡儿（Descartes）符号法则得出低阶低次分片代数曲线在一般剖分上的Bezout数。但是,结式定理在将两个光滑度不同的二元样条函数转化成新的一元样条函数时,该一元样条函数的光滑度是由原来低的光滑度决定的,所以结式定理不能反应原来两个样条的光滑度,因此很难得到精确的Bezout数的估计,于是我们尝试下面两个新的方法。第一个方法:基于几何的组合优化,利用笛卡儿（Descartes）符号法则,得出一元样条函数根的个数。在此基础上,利用齐次三角形多项式相关结论给出并证明了二元样条函数在平行剖分下零点个数的分布情况及上界,并通过基于几何的组合优化,利用LINGO软件得出平行剖分下两条分片代数曲线的Bezout数的上界,并从实际验证出发该方法是有效的。第二个方法:图理论,利用任意三角剖分上的一族直线段构成该剖分上S₁⁰-分片代数曲线的充分必要条件证明了四色猜想与无桥三正则平面图的一因子分解猜想是等价的,并在四色猜想成立的前提下给出了三角剖分的一些新的性质,为图理论与分片代数曲线之间建立了一个桥梁,为进一步求分片代数曲线的Bezout数提供了更多可能。图12幅;表0个;参52篇。