刚性延迟微分方程广泛出现于物理、生物、医学、工程、控制理论等许多科学与工程领域,对其算法理论的研究具有重要的科学意义.现有文献对于刚性延迟微分方程及其数值方法的稳定性都做了一系列的研究,但是,大多数工作都是针对内积空间中的延迟微分方程.到目前为止,关于Banach空间中延迟微分方程稳定性理论的研究结果仍然很少.本文主要研究Banach空间中非线性刚性延迟微分方程线性多步法的稳定性以及渐近稳定性.在本文的第一章,我们简要介绍延迟微分方程在不同领域中的应用以及近几十年来刚性延迟微分方程理论解与数值解的稳定性研究和发展过程.接着,介绍了Banach空间中非线性刚性延迟微分方程及其数值方法的稳定性研究,并在此基础上提出了本文的主要工作.第二章对于解微分方程初值问题的一类线性多步法,在该方法的插值算子满足一定限定条件的情况下,针对Banach空间中试验问题类D (α,λ~* ,β)和D (α,λ~*,δ,β)分别研究了该类线性多步法的非线性稳定性.第三章针对第二章中讨论的线性多步法,在插值算子为线性插值的特殊情形下,针对Banach空间中试验问题类D (α,λ~* ,β)和D (α,λ~* ,δ,β)分别研究了该类线性多步法的渐近稳定性.第二章和第三章的稳定性结果都不依赖于时间区间长度,并分别通过一类特殊的线性多步法说明所得稳定性结果的合理性.特别地,结果表明隐式Euler方法能无条件保持模型问题的收缩性和渐近稳定性.第四章针对前面的问题进行数值试验,试验结果验证了所获稳定性理论的正确性.