在物理和生物领域中常常可以用到拟线性椭圆方程,比如能在非牛顿流体、非线性弹性问题、孤立波的传播现象以及人口动力学等问题上进行研究。近些年来,人们愈加关注拟线性椭圆型方程与其对应的方程组,可是在实际使用过程中,我们会发现之前用于解决半线性椭圆问题的工具,如Morse理论、上下解方法、极小极大方法等,并不可以直截了当的转移到拟线性椭圆方程中,这就会让这一类问题的探究面临巨大的困难,从而需要我们坚持不懈的来优化和扩展现有的工具。当前,探究椭圆型方程可解性较为适合的工具之一是Morse理论,该理论通过描述泛函在其孤立临界点附近的局部拓扑性质和整体拓扑性质之间的关系,来获取方程多解的存在性及其各解的多种特性。但问题是,如果想要通过Morse理论来探究拟线性泛函临界点的特性,我们可能会遇到非常多的技术性问题,例如,具有正交分解的Hilbert空间将不能再被方程所使用,很多如Morse引理和Gromoll-Meyer定理这样著名的理论及定理将不能再成立。这样就让我们不得不扩展及延伸现有的理论基础来获得新的应用领域以及更广阔的临界点理论。详细内容如下,本文章所用Morse理论来探究以下所示的拟线性椭圆方程这里其中△2u=△u为拉普拉斯算子,Ω∈RN是边界光滑的有界区域。我们假设非线性项满足次临界增长的条件,所以方程的弱解等价于相应泛函的临界点。本课题包含两大定理。首先我们假定非线性项在无穷远处超线性增长,之前的结论经常是获得解的存在性,而这里所能说明得到的解还是变号的,进而会得到,如果上述方程的非线性项还是奇函数,那么我们还能说明该方程有无穷多的变号解。其次,本课题出现的第二个定理是假定方程在零点共振,能例证泛函在零点具有环绕的几何结构,通过Morse理论准确的运算零点的临界群,进而可以获得方程多解的存在性。