【摘 要】
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随着科学技术的进步,各向异性椭圆方程作为刻画流体在介质中沿着不同方向传导的动力学模型正受到越来越多的关注.本文研究了各向异性Laplace算子的恒等式和不等式,并且给出了这些恒等式和不等式的应用.具体研究所得结果如下所述.一、分别针对有界光滑区域和全空间上的各向异性椭圆问题,建立了它们的解所满足的各向异性Pohozaev恒等式,并利用这些各向异性Pohozaev恒等式来证明非平凡解的不存在性.二、
【基金项目】
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带漂移向量场的平方和型退化椭圆偏微分方程的正则性,国家自然科学基金面上项目，11271299, 2013.1-2016.12； 向量场构成的退化偏微分方程的H?lder正则性,国家自然科学基金面上项目，11771354, 2018.1-2021.12； 与Poisson型微分算子相关的加权Besov空间理论研究,国家自然科
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随着科学技术的进步,各向异性椭圆方程作为刻画流体在介质中沿着不同方向传导的动力学模型正受到越来越多的关注.本文研究了各向异性Laplace算子的恒等式和不等式,并且给出了这些恒等式和不等式的应用.具体研究所得结果如下所述.一、分别针对有界光滑区域和全空间上的各向异性椭圆问题,建立了它们的解所满足的各向异性Pohozaev恒等式,并利用这些各向异性Pohozaev恒等式来证明非平凡解的不存在性.二、建立了各向异性Laplace算子的各向异性Picone恒等式,利用它获得了各向异性椭圆方程的Sturmian比较原理和各向异性Hardy不等式.还建立了拟-p-Laplace算子的非线性Picone恒等式,得到了奇异拟-p-Laplace方程组的Liouville定理,拟-p-Laplace方程的Sturmian比较原理,新的且带权和余项的Hardy不等式以及拟-p-Laplace方程不存在正的上解.三、在方体上建立了齐次各向异性椭圆问题弱解所满足的一个各向异性Caccioppoli不等式,它可以被视为一个反向各向异性Poincar′e不等式.结合各向异性Sobolev不等式和带权各向异性Sobolev不等式建立了对数各向异性Sobolev不等式和对数带权各向异性Sobolev不等式.四、研究了带权各向异性积分泛函,利用带权各向异性Sobolev不等式和迭代引理证明了当边值有更高的可积性时,可使带权各向异性积分泛函的极小元也有更高的可积性.而且还获得了极小元具有指数形式和L∞（?）形式的有界性.此外对带权各向异性积分泛函的障碍问题,也获得相类似的结果.五、对一个各向异性椭圆问题,利用变分法证明了非平凡弱解的存在性,还利用各向异性Poincar′e不等式证明了非平凡弱解的不存在性.
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