H（?）rmander于二十世纪六十年代给出了由向量场构成平方和算子的亚椭圆性的开创性结果,对退化椭圆偏微分方程的研究起到了很大的推动作用.Stein提出将齐次幂零Lie群上的分析用于研究偏微分方程的思想后,齐次幂零Lie群上偏微分算子的研究得到迅速发展,作为齐次幂零Lie群的特例Heisenberg群和其上的次Laplace算子研究受到众多学者的关注.本文研究了Heisenberg群与次椭圆算子和分数阶次椭圆算子对应的方程解的性质.全文主要由以下三部分组成:第一部分研究了Heisenberg群上带有奇异非线性项的次椭圆方程的Dirichlet问题.在给定有界凸对称区域,其边界满足Wiener准则及非线性项满足一定的假设条件时,我们将Dirichlet问题分解为两个易于处理的边值问题,分别得到它们的解的正则性及单调性,进而证明原问题解的单调性.第二部分考虑了Heisenberg群上分数阶CR（Cauchy-Riemann）协变算子对应的两类非线性方程.对其中一类非线性方程,借助于Heisenberg群上的延拓方法,通过构造辅助函数证明了Hopf引理和极值原理,使用CR反演和Heisenberg群上的移动平面方法建立了方程解的Liouville定理.对另一类非线性方程,我们分超临界和次临界情形来分别处理,利用已证的Hopf引理和推广的CR反演给出该方程延拓问题的Liouville型定理.第三部分我们对分数阶次Laplace方程,通过证明四个极值原理及给出Heisenberg群上的直接移动平面方法,得到了方程正解在次临界情形时的不存在性和临界情形时的对称性;研究了分数阶Schr（?）dinger方程的正解在无穷远处满足一定的假设条件下的对称性和单调性.对分数阶p-次Laplace方程,通过要求非线性项满足一定的假设条件,证明了解在超平面附近的估计,得到了方程解在全空间上的对称性和单调性,并利用狭窄区域极值原理,得到了方程在一类半空间上的Liouville型结果。