带有不连续系数的椭圆方程(也称为椭圆方程界面问题)的数值解，是应用数学和科学计算的一个重要研究对象。这类问题广泛的存在于流体动力学[30-33]，电磁学[34，35]，材料科学[36]，以及生物学中[19，20]。Peskin主导了对这类问题的最早研究，提出了沉浸边界法(Immersedboundarymethod，IBM)[1-3]，并将其成功用于心血管中流体动力学的研究中。在这之后，研究者们提出了一系列重要方法，如积分方程格式(Integralequationapproach)[4]，沉浸界面法(Immersedinterfacemethod，IIM)[5]，虚拟流体方法(Ghostfluidmethod)[6]，有限体积格式(Finitevolumebasedmethods)[7]等等。界面及边界匹配法(Matchedinterfaceandboundarymethod，MIB)[8-14]，是第一个对界面为任意形状以及解具有奇异源的椭圆方程给出2阶精度解的数值算法。它被成功地应用于分子层面的生物数学研究中[15-20,23-25]，在构建外场驱动下的分子表面(Potentialdrivenmolecularsurface)[15,17，18]，计算蛋白质表面静电势[17,18]，研究离子通道性质[19,20,23,24]等诸多问题上发挥了极大作用。本文从算法角度出发，对MIB方法的基本思想进行了阐述，并进一步详尽的讨论了它在多物质区域椭圆界面(Multimaterialellipticinterface)问题，适应网格形变法(Adaptivelydeformedmesh)，以及加勒金(Galerkin)格式问题中的应用。　　 对于多物质区域椭圆界面问题[26]，由于三个或更多子区域的存在，其界面交接点处的几何奇异性被进一步放大，并且多组不同性质的跳跃条件可能在同一点同时存在。因此我们设计出多种算法格式，对不同的几何情况进行分类处理。并通过数值试验，验证算法的精度和稳定性。　　 我们还讨论了MIB方法和适应网格形变法的结合[27]。适应网格形变法的基本思想是在网格点总数不变的情况下，将它们重新分布到特殊区域，如函数值剧烈变化区域，从而提高算法的精度。由于界面的存在，我们需要将跳跃条件融合到网格形变格式之中。基于界面几何形状或函数值的变化情况，我们设计出二种不同形变算法，并通过严格的数值实验加以验证。　　 另一个相关的重要问题是MIB算法的Galerkin表达形式[28，29]。在界面附近，为了保证基函数的连续性，我们定义一组互相重叠的元，称为MIB元。在虚拟点所在的局部区域，我们构建出两个二阶的多项式，其系数分别由函数值以及跳跃条件所表示。然后，虚拟值表达式可以由这些系数来确定。利用虚拟值替代延拓值的传统MIB算法思想，就可以构造出最终的线性方程组。　　 最后我们论述了MIB算法在生物数学中的应用，并对全文作出了总结。　　 本论文中的大部分内容是作者在密西根州立大学数学系访问期间，在Prof.Wei指导下完成。　　 本论文中主要论述的内容来自于作者发表的文章[26,29]。