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本文隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)领域，该领域是近10年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支.本文主要利用Lp-Brunn-Minwkoksi理论的基本概念、基本知识和积分变换方法，研究Lp-空间中凸体几何的理论、几何体的度量不等式和极值间题.一方面，我们对新几何体Ip，iK和混合质心体的体积、均质积分构成的度量不等式和极值问题进行研究.另一方面，对两个单形的k维子单形的体积的k-n型不等式进行了研究.
第一章介绍了凸体几何的发展历史和主要研究方向的发展概况.
第二章通过利用Brunn-Minkowski-Firey混合体积及对偶混合体积理论，研究了新几何体Ip，iK的性质，并建立了Lp-径向线性组合的新几何体Ip，iK的对偶均质积分的Brunn-Minkowski型不等式及其隔离形式，另外又建立了关于新几何体体积的两个单调不等式.
第三章通过利用Brunn-Minkowski-Firey混合体积及混合体积理论，研究了混合质心体Γp,iK的性质，并建立了Lp-径向线性组合的混合质心体Γp，iK的均质积分的Brunn-Minkowski型不等式，另外又建立了关于混合质心体的体积不等式.
第四章给出了En空间中几个新的关于两个单形和它们的k维子单形的体积的k-n型不等式，推广了著名的Neuberg-Pedoe不等式.