【摘 要】
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代数多层网格（AMG）法和区域分解法（DDM）是国际上流行的两类求解大规模偏微分方程（PDEs）离散化系统的快速方法.目前,对于求解复杂PDEs离散化系统的AMG法和DDM,还有许多需要进一步研究的问题.本文针对两类具有广泛应用背景的PDEs离散化系统,研究其高效（并行）AMG法和DDM,主要工作如下：针对一种关于三温辐射扩散方程离散化系统的代数两层预条件子B01,测试并分析了相应的PGMRES法
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代数多层网格（AMG）法和区域分解法（DDM）是国际上流行的两类求解大规模偏微分方程（PDEs）离散化系统的快速方法.目前,对于求解复杂PDEs离散化系统的AMG法和DDM,还有许多需要进一步研究的问题.本文针对两类具有广泛应用背景的PDEs离散化系统,研究其高效（并行）AMG法和DDM,主要工作如下：针对一种关于三温辐射扩散方程离散化系统的代数两层预条件子B01,测试并分析了相应的PGMRES法的算法效率.通过引入能刻画系统耦合强弱和单温子系统对角占优强弱的若干因子,设计了一种基于块对角型和PCTL型的自适应预条件子B2.对LARED-S程序产生的数据进行了测试,表明新算法比基于RSAMG和B01预条件子的PGMRES法更加稳健和高效.进一步针对JASMIN接口,为预条件子B2设计了基于进程分组策略的并行实现算法Bp2,通过对源于实际应用背景的数据进行测试,表明所设计的并行解法器比基于BoomerAMG预条件子的PGMRES解法器具有更好的算法可扩展性,且具有更好的运算效率.此外,还为预条件子Bp2提供了串行接口.针对二维定常扩散问题在两层SAMR网格下的混合五点格式和SFVE格式,分析了数值解的逼近性与解函数在粗细界面附近的性态以及插值算子精度之间的关系,实验结果表明后者具有更好的普适性；同时为混合五点格式和SFVE格式设计两层网格（TL）法,并证明了后者的一致收敛性.针对二维三温辐射扩散问题,为SAMR网格下的混合五点格式和SFVE格式,设计了相应的自适应PCTL预条件子Btl2其中子系统利用TL法求解.与基于RSAMG预条件子的PGMRES法相比,基于Btl2的PGMRES法更适合于在JASMIN框架中实现,且对耦合关系强的情形,其稳健性更好,计算效率更高.针对一种二维单温模型方程的保对称有限体元离散系统,给出了一种基于简单粗空间的非重叠DDM预条件子B.该预条件子行为涉及两类与原问题自相似的子问题的求解,数值实验表明基于该预条件子的PCG法的迭代次数弱依赖于问题的规模.进一步,针对一个简化的单温模型,通过引入线性有限元辅助系统,证明了关于B的预条件系统的条件数是渐近最优的（O（log3d/h））.针对几种局部各向异性网格下3D线弹性问题分层二次元方程的求解,通过构造能有效消除由于网格的各向异性而产生的误差高频部分的特殊块磨光算子,获得了一种收敛性基本不依赖于网格规模的两水平方法.进一步,通过利用现有的适用于各向异性网格问题的AMG （DAMG或DAMG-CG）法求解粗水平（线性元）方程,建立了相应的多水平方法,并将其应用于一个实际例子的求解.数值实验结果验证了算法的有效性和稳健性.
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