【摘 要】
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本文主要研究了阶数为α∈ （0,1）的具有Caputo导数的时间分数阶Navier-Stokes方程,这类方程可以用来模拟分形介质中的反常扩散现象.我们主要讨论它的适定性.本文的工作主要分成五个部分:在第二章中我们首先通过把Helmholtz投影子作用到目标方程上消去压强项,将其转化为抽象形式的发展方程;然后根据分数阶发展方程理论给出其相应的积分方程并定义适度解;利用半群理论和不动理论得到方程的全
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本文主要研究了阶数为α∈ （0,1）的具有Caputo导数的时间分数阶Navier-Stokes方程,这类方程可以用来模拟分形介质中的反常扩散现象.我们主要讨论它的适定性.本文的工作主要分成五个部分:在第二章中我们首先通过把Helmholtz投影子作用到目标方程上消去压强项,将其转化为抽象形式的发展方程;然后根据分数阶发展方程理论给出其相应的积分方程并定义适度解;利用半群理论和不动理论得到方程的全局适度解和局部适度解的存在唯一性;进而得到古典解的正则性.第三章我们沿用第二章的方法得到同样的抽象分数阶发展方程,利用迭代法得到局部适度解的存在唯一性以及其Holder连续性;然后使用不动点方法得到近似方程的适度解（又称近似解）的存在唯一性,同时也得到近似解的收敛性;最后得到了Faedo-Galerkin近似的一些收敛性结果.第四章是使用能量方法来处理时间分数阶Navier-Stokes方程.本章主要分成两个部分:第一部分利用光滑化过程构造正则化方程,这就将无界微分算子转化为有界算子;然后得到局部近似解（又称正则化方程的局部解）以及其满足的性质.第二部分强调对近似方案取极限的过程,从而得到一种新的全局解结果.第五章定义了一个新的适度解和两个新的解算子,并利用调和分析的工具研究了解算子的性质.然后借助辅助空间建立了解在Sobolev空间中的两种局部存在性结果.第六章是利用经典的Galerkin估计和分数阶微积分理论得到方程弱解的存在性;然后得到弱解在R2中的唯一性;最后得到最优控制的一个存在性结果。
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