【摘 要】
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分数阶导数（FD）是对普通导数的推广,为人们研究更为复杂的系统和现象提供了方法.二十世纪的后半段,FD在力学,图像处理等领域得到了广泛的应用.但其无法摆脱对固定点的依赖,记忆依赖的区间长度会随着时间的增加而增加,从而使其记忆效应失效.而且其核函数的形式是固定不变的,不能根据实际情况进行选择.因此在此基础之上,Wang等人提出了记忆依赖型导数（MDD）,现广泛应用于广义热粘弹性等方面.相较于FD而言
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分数阶导数（FD）是对普通导数的推广,为人们研究更为复杂的系统和现象提供了方法.二十世纪的后半段,FD在力学,图像处理等领域得到了广泛的应用.但其无法摆脱对固定点的依赖,记忆依赖的区间长度会随着时间的增加而增加,从而使其记忆效应失效.而且其核函数的形式是固定不变的,不能根据实际情况进行选择.因此在此基础之上,Wang等人提出了记忆依赖型导数（MDD）,现广泛应用于广义热粘弹性等方面.相较于FD而言,MDD的核函数能够按照应用状况自由选择,灵活性更强.除此之外,摆脱了分数阶导数对固定点的依赖.利用其构造的记忆依赖型微分方程更具表现力.在本文中,记忆依赖型导数被引入一阶和二阶微分方程中,建立了一阶和二阶记忆依赖型微分方程.然后讨论当满足何种条件时,方程存在唯一的显式解.根据解的延拓定理可将方程组区间上的解进行延拓,并利用分步估计放缩的方法讨论其解对初值的连续依赖性.随后研究了当核函数取固定形式时,求方程组精确解的方法.最后利用数值方法讨论其解与所对应常微分方程组的解之间的联系.结果显示在初始阶段二者数值解之间存在极小的差距,当时间不断增大时差距也逐渐明显,但时滞越大时两个方程组解之间的差距反而越小.对分量,两个方程组在前期都表现出缓慢的下降趋势,随着时间的增大普通方程组的衰减速度开始增大.对分量,两个方程组在前期都呈现出缓慢的上升趋势,但随时间的增大,普通方程组的解呈现下降趋势.对二阶记忆依赖型微分方程,在讨论其是否存在唯一解时,因其转化的积分方程既包含一重积分也包含二重积分,故通过限制其条件对其进行转化.随后考虑当核函数取固定形式时,寻找方程精确解的方法.最后考虑时滞对其解的影响.结果显示:当时滞越大时,二阶记忆依赖型微分方程的解在前期和后期就越大,中间时段时恰好相反,时滞的变化对常微分方程的解无影响.本文研究是将MDD代入常微分方程所组成的记忆依赖型微分方程.而MDD是FD的延伸,解决了FD的问题,其计算过程简便,在应用方面有指导意义.
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