复平面上的单叶解析函数被称为是共形映射.这类映射具有很好的几何和分析性质.它们不仅在数学学科,同时在物理、工程等学科中也具有广泛的应用.拟共形映射是共形映射的推广,它们是关于某个共形不变量具有有界扰动的同胚映射.拟对称映射、拟Mobius映射等都是拟共形映射.上个世纪九十年代,Vaisala利用双曲型度量建立了Banach空间中拟共形理论,即自由拟共形理论,并得到了人们的极大关注.本学位论文主要研究双曲型度量以及反演变换在自由拟共形映射理论中的一些应用.首先,我们利用双曲型度量讨论Banach空间中的一些特殊拟共形映射类的性质,同时,我们得到了反演变换关于j-度量的bilipschitz连续性、以及φ-一致域和natural域在反演变换下的不变性.接着,我们证得了φ-一致域和natural域关于拟Mobius映射的不变性.最后,我们还探讨了拟Mobius映射的延拓性.本文共由五章构成,具体安排如下:在第一章中,我们介绍了问题的研究背景,并给出了所得的主要结果.近年来,基于j-度量,Vuorinen等在Banach空间中引入两类映射,即关于j-度量的fully拟等距映射和关于j-度量的拟等距映射,研究了它们的相关性质.在第二章中,同样基于j-度量,我们引入了另一类映射:关于j-度量的点拟等距映射,并证明了此类映射和关于j-度量的fully拟等距映射的等价性.当关于j-度量的拟等距映射的控制函数为线性函数时,我们进一步讨论了它们有关的fully性质.度量空间的反演变换是由Buckley、Herron和Xie于2008年引入的,同时还得到了此类变换关于拟双曲度量的bilipschitz连续性.作为补充,在第三章中,我们证明了度量空间中的反演变换关于j-度量是粗糙bilipschitz的.Buckley、Herron和Xie于2008年讨论了一致域关于反演变换的不变性.作为第四章的第一个目的,我们证明了φ-一致域和natural域关于反演变换均具有不变性.在2009年,Xie证明了拟Mobius映射是保一致域不变的.作为第四章的第二个目的,我们建立了φ-一致域和natural域在拟Mobius映射下的不变性.因为一致域既是φ-一致域,同时也是natural域,故我们的所得结果是Buckley等相关研究的推广.2009年,Haissinsky讨论了度量空间中拟对称映射的延拓性.在第五章中,我们考虑了度量空间中拟Mobius映射的类似性质,证明了限制在两个集合上的拟Mobus映射若满足一定条件,则该映射在两个集合的并上也是拟Mobius的.进一步,我们举例说明了该延拓定理中的每一个条件均为不可去的.