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本文首先简要地回顾了极小曲面问题(Plateau问题)的产生和沿革,综述了目前在CAGD领域内研究Bézier极小曲面造型和B样条极小曲面造型的主要方法、意义与局限性,进一步指出了研究有理Bézier极小曲面造型的必要性和合理性。在介绍一般有限元方法的思想、步骤、回顾微分几何中相关基本概念和重要定理之后,本文对有理Bézier极小曲面造型的一般提法、理论机理、应用有限元工具来造型的算法设计等问题展开了一系列深入的研究和探讨,并用有理双2次与双3次Bézier极小曲面的大量计算实例对新理论与新算法进行了验证。本文的主要贡献与创新点可概括为以下几点: 1.在CAGD领域内首次提出了有理Bézier极小曲面造型问题并进行了成功的尝试,使得统一地研究一般二次曲面的极小曲面造型成为可能。这将促进CAD行业能够在NURBS系统中计算与绘制极小曲面,对建筑、机械等工程实际产生深远影响。 2.探索了将Dirichlet能量函数方法推广到有理极小曲面研究领域的可行性与潜在途径。运用等温参数化思想证明了一个收敛定理,作为用Dirichlet能量函数方法研究有理Bézier极小曲面问题的重要理论基础。定理表明,对欲求的有理Bézier极小曲面,存在某些逼近曲面序列,使得当逼近曲面的次数充分大时,按照它的边界条件,用Dirichlet方法求解有理Bézier极小曲面所得到的解曲面,几乎就是欲求的有理Bézier极小曲面。 3.探索了将Dirichlet能量函数方法推广到有理极小曲面研究领域的具体算法。根据有理Bézier曲面的复杂形式,采取了与Bézier曲面完全不同的模式。首先推广了函数曲面中的有限元方法,进而研究如何针对参数曲面使用有限元方法,并把该方法引入到有理Bézier极小曲面造型的设计中,从而将连续的Dirichlet能量函数极小化问题,转化为一个离散形式的目标函数的极小化问题。全文的理论结果与数值实验表明,有理Bézier极小曲面问题,必然可以转换为线性约束条件下关于有限维变量的一个非线性目标函数的最小化问题并得以成功的解决。