这篇论文中，我们以Higgs于1978年关于球形几何中的动力学对称性的研究为基础，对多项式代数与准精确可解的量子问题进行了讨论。Higgs通过对氢原子和谐振子在二维球面中对称性的讨论，构建了一个so(3)和su(2)变形代数，这一代数方法之后被称为Higgs代数。类似于Higgs代数对so(3)和su(2)的变形，进一步扩展得到的一个新代数方法，称之为多项式代数。本文中，我们使用多项式代数解决了一系列变形的谐振子模型，同时也对不同最高阶多项式代数找到了一系列与之相对应的物理模型。之后，我们通过对Higgs模型的进一步讨论，发现推广的二维Higgs模型径向部分与推广的一维Carinena-Ranada-Santander(CRS)模型之间存在一个坐标变换关系。基于这一坐标变换，我们可以由任意一维可解的推广CRS模型出发，构造与之对应的准精确可解的二维Higgs模型。此外，除了以上与Higgs模型相关的问题，我们在本文中还使用保角变换和微扰论的方法研究了二维受限空间中的理想气体的统计问题。　　本文共包含五部分内容。第一部分（第一章）介绍了Higgs构造的球面几何中的动力学理论以及Higgs代数、多项式代数、CRS模型以及准精确可解问题。　　第二部分（第二、三、四章），我们通过多项式代数的方法构造了一系列对应该代数的物理模型。第二章中，我们讨论了简单情况下二维各向同性谐振子模型如何通过多项式代数的方法来求解。第三章中，我们对二维各向异性谐振子模型的角频率比为整数比的情况，通过多项式代数的方法来讨论如何对其求解。我们以ω1∶ω2=3∶1作为例子，对Fokas-Lagerstorm势以多项式代数的方法重新求解。第四章中，在前一章讨论的两个维度上角频率比为任意整数比的二维谐振子模型的基础上，通过附加一个额外的一维库伦势，构造了一个新的物理模型，并且通过多项式代数的方法对其求解。在这一章中，我们以ω1∶ω2=1∶1的Smorodinsky-Wintemitz势与ω1∶ω2=1∶2的Holt势为例，对该问题进行了详细的讨论。　　第三部分（第五、六章），我们讨论了一种通过坐标变换来获得准精确势的方法。在第五章中，我们得到扩展的CRS模型与扩展的Higgs模型径向维度部分之间的坐标变换关系。第六章中，我们以该变换关系为基础，构造出一系列准精确可解的二维扩展Higgs模型，同时也开创了一套全新的构造准精确可解势的方法。　　第四部分（第七章），我们讨论了一类基于保角变换解决二维受限空间中理想气体统计问题的方法。通过保角变换与微扰论，我们计算了理想气体的能谱，并且给出了二维受限空间中理想气体的统计热力学性质。　　第五部分（第八章），我们对本篇文章中所做的工作进行了总结，并且展望了一些可以进一步拓展的工作。