圆柱体是生产和生活非常普遍的结构。近年来,有不少关于圆柱三维振动的研究,在一些近似方法研究中有人采用了切比雪夫多项式级数作为允许函数来研究圆形和环形平板、实心圆柱和空心圆柱的三维振动。结果显示了切比雪夫多项式在数值计算方面的稳定性,特别适合于高阶模态的计算。但是目前在圆柱体上开槽的研究却不多见。在圆柱体上开凹槽会改变边界条件,使它很难作为一个整体来计算,但我们仍将使用切比雪夫多项式级数和瑞利-里兹法来进行计算。由于圆柱体结构的变化,圆柱体的边界条件也会发生变化。这个变化使得这个结构难以像普通圆柱体一样用一个位移函数表示整体的位移,所以在研究中把圆柱体分割成几个部分,每个部分用单独的位移函数来表示,再利用瑞利-里兹法计算各自的刚度矩阵和质量矩阵然后进行组合。开槽圆柱体可分为上部和下部,通过接触表面上的位移相等,可以把两个部分联系在一起,从而建立这些矩阵之间的关系。最后通过求解整个圆柱的特征方程,就可以获得开槽圆柱体的特征频率。我们用瑞利-里兹法获得的特征频率与通过有限元方法计算出的特征频率进行比较,结果基本吻合一致。这说明利用切比雪夫多项式级数和瑞利-里兹法不仅可以计算出圆柱振动的特征频率,而且可以通过适当的处理计算出带有凹槽的圆柱振动的特征频率。研究发现,对圆柱体进行开槽对圆柱振动的影响较大,圆柱越高,相同位置和大小的凹槽对其振动的影响越大。