【摘 要】
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众所周知,对于求解对称不定的线性系统,Bunch-Kaufman算法,有界的Bunch-Kaufman算法和Aasen算法是近来使用最广泛的三种算法.但是这三种算法都存在相应的数值不稳定性.例如,由Bunch-Kaufman算法得到的元素增长因子可能呈现指数增长,且由这个算法产生的单位下三角矩阵L中的元素可能无界;而对于有界的Bunch-Kaufman算法,其计算复杂度在达到最坏的情形,会和Bun
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众所周知,对于求解对称不定的线性系统,Bunch-Kaufman算法,有界的Bunch-Kaufman算法和Aasen算法是近来使用最广泛的三种算法.但是这三种算法都存在相应的数值不稳定性.例如,由Bunch-Kaufman算法得到的元素增长因子可能呈现指数增长,且由这个算法产生的单位下三角矩阵L中的元素可能无界;而对于有界的Bunch-Kaufman算法,其计算复杂度在达到最坏的情形,会和Bunch-Parlett算法一样.此外,有界的Bunch-Kaufman算法也可能产生指数增长的元素增长因子.已有研究者给出了分别使得Bunch-Kaufman算法和有界的Bunch-Kaufman算法达到最坏的情形相应的矩阵实例.对于Aasen算法,虽然目前还没有人提出其最坏情形下的矩阵实例,但是通过分析已经知道其元素增长因子可能呈指数增长,从而导致Aasen算法数值不稳定.在本文,我们的主要工作是提出了求解对称不定线性系统Ax = b的随机完全选主元（RCP）算法,以及RCP算法的一个有效的主元选取策略——简化的Bunch-Kaufman部分选主元（SBKP）策略.RCP算法正是基于这种策略实现了块LDLT分解.在文中,我们对基于SBKP策略的RCP算法在理论,效率,稳定性等方面进行了详细的分析,并和非随机算法（Bunch-Kaufman算法,有界的Bunch-Kaufman算法以及Aasen算法）进行了比较,说明我们这个算法的有效性.在理论分析方面,我们首先对随机投影上获得的列主元的可靠性进行了分析.在此基础上对单位下三角矩阵L的元素上界以及RCP算法的元素增长因子进行了分析.相比较完全选主元的高斯消去法和Bunch-Parlett算法,我们的分析表明:存在相当大的概率使得RCP算法也有类似的理论元素增长因子和单位下三角矩阵L的元素上界,并且随着过采样参数的增加,这个失败概率会呈指数降低.而且在我们的数值实验结果中,RCP算法产生的向后误差,元素增长因子和L的元素上界都优于Bunch-Kaufman算法,并且与其他两种算法也具有可比性.在计算效率方面,我们分析了 RCP算法的复杂度,理论分析和实验结果都表明RCP算法比Bunch-Kaufman算法,有界的Bunch-Kaufman算法以及Aasen算法要稍微慢一点,但是随着矩阵阶数的增加,RCP算法与这三种非随机算法之间的复杂度差异可以减少到一个可忽略的量.此外,我们还给出了真正实施时采用的两种块算法,通过测试这两种块算法的性能,我们发现一次选一个主元的块算法要优于一次选多个主元的块算法.在稳定性方面,我们对RCP算法进行了有限精度分析,结果表明RCP算法和完全选主元的高斯消去法一样是稳定的,大量的数值实验也说明RCP算法是稳定的.根据有限精度的分析,更新随机投影可能导致数值不稳定.另一方面,对称不定矩阵A可能本身接近秩亏,从而也可能导致在随机投影上获得的列主元不可靠,因此,针对这两种可能出现的数值不稳定,我们提出了相应的修正算法,但是在我们的数值实验中我们没有遇到需要修正由更新随机投影导致的数值不稳定情形.本文的另一个工作是我们仔细地分析了 Aasen算法的元素增长因子,并得到这个增长因子的一个上界为2n-1.此上界比由Higham等人给出的4n-2小得多.我们还证明了当矩阵阶数超过6时,这个上界并不是紧的.最后,我们构造了阶数分别为4,5,6时的矩阵例子来验证我们的分析结果.
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