【摘 要】
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交换代数的Grobner基理论是由Buchberger介绍的,此理论提供了交换代数约化问题的一个解决方法.Bergman和Shirshov分别在结合代数和李代数上发展了Grobner基理论.后来,Bokut证明了Shirshov的方法对结合代数也适用,因此Shirshov对李代数及其包络代数的Grobner基理论称为Grobner-Shirshov基理论.Bocut和Malcolmson发展了量子
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交换代数的Grobner基理论是由Buchberger介绍的,此理论提供了交换代数约化问题的一个解决方法.Bergman和Shirshov分别在结合代数和李代数上发展了Grobner基理论.后来,Bokut证明了Shirshov的方法对结合代数也适用,因此Shirshov对李代数及其包络代数的Grobner基理论称为Grobner-Shirshov基理论.Bocut和Malcolmson发展了量子包络代数或者所谓的量子群的Grobner-Shirshov基理论,并且具体地构造了An型量子群（q8≠1）的Grobner-Shirshov基.本文正是沿着这一方向,以计算合成为基本工具,通过证明给定关系对合成封闭,进而得到Z/3Z-量子群和B2型量子群的Grobner-Shirshov基.Z/3Z-量子群U是Yamane引入了一个新的量子群,它可以看成是一个量子超代数的Z/3Z-分次形式.这种新的量子群不同构于任何量子代数和量子超代数.本文的第一部分,我们给出了Z/3Z*量子群U的Groebner-Shirshov基.为了构造量子群的PBW基,Ringel用Auslander-Reiten理论构造了Ringel-Hall代数的一个生成元序列和这些生成元的一些拟交换关系.本文的第二部分,为了建立量子群的Grobner-Shirshov基理论和有限维代数的表示理论之间的联系,我们用Ringel构造的关系和量子群与Ringel-Hall代数间的经典同构给出了B2型量子群的的一个Grobner-Shirshov基.这样做是很有意义的,在探究量子群Grobner-Shirshov基的过程中我们发现,用Shirshov算法去构造量子群的Grobner-Shirshov基是很难实现的,因此我们想通过有限维代数表示论和Ringel-Hall代数的知识,用Auslander-Reiten理论构造生成元的一些拟交换关系,然后证明这些关系的集合对合成封闭,从而构造出了B2型量子群的Grobner-Shirshov基.我们希望能应用这个方法构造出Bn型量子群的Grobner-Shirshov基.
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