地下介质普遍呈现出速度各向异性,即介质中地震波的速度随着传播方向的变化而改变。沉积地层通常表现出横向各向同性（Transversely isotropy,TI）,根据横向各向同性介质对称轴空间方位的不同,可以细分为垂直对称轴TI介质（Vertical transversely isotorpic media,VTI）、水平对称轴TI介质（Horizontal transversely isotropic media,HTI）、倾斜对称轴TI介质（Titled transversely isotropic media,TTI）、任意空间方向对称轴TI介质（Transversely isotropic media with arbitrary orientation,ATI）。VTI、HTI、TTI介质可视为ATI介质的特例,其中HTI介质可以视作对称轴倾角为90°的ATI介质。一般求取三维TTI、ATI介质相速度的方法为:对VTI介质刚度矩阵进行Bond变换,得到形式上复杂的TTI、ATI介质刚度矩阵,接着将TTI、ATI介质刚度矩阵代入Christoffel方程中,通过计算Christoffel矩阵的特征值,即可得到TTI、ATI介质的相速度。直接推导用群速度角表征的群速度解析表达式是非常困难的,群速度依赖于相速度函数,所以通常是在相速度的基础上导出群速度。通过Bond变换来计算相速度的方法非常复杂,根据相速度计算群速度则会更加复杂。本文基于VTI介质的相速度、群速度,利用矢量旋转的方法,给出了三维TTI、ATI介质的相速度、群速度。本文方法具有明确的几何意义,计算量小。另外,相速度与传播矢量的方向一致,可以通过计算TI介质对称轴方向上的单位矢量和传播矢量的数量积和标量积来求解TTI、ATI介质相速度的模,然后与传播矢量相乘即可得到相速度的矢量形式。首先旋转传播矢量,即将观测坐标系下的传播矢量投影到本构坐标系,得到本构坐标系下的相速度、群速度,最后再对本构坐标系中的相速度、群速度矢量反向旋转,得到观测坐标系下的ATI介质相速度、群速度。TI介质中地震波的相速度、群速度、偏振矢量的精确解析表达式非常复杂,研究发现,近地表的沉积岩层呈现出弱各向异性,借助Thomsen各向异性参数,可以导出一系列的近似公式,简化了问题。基于Thomsen弱各向异性近似相速度公式,利用Crampin的各向异性介质群速度理论,导出了二维VTI介质弱各向异性近似群速度和近似偏振矢量。三维VTI介质中任意方位上的垂直平面都可视为一个二维VTI介质,构建一个随传播方位角变化的局部坐标系,传播方向上的单位矢量（传播矢量）与局部坐标系的某一水平坐标轴正交。利用局部坐标系,可轻松地将二维VTI介质弱各向异性近似群速度和偏振矢量扩展到三维VTI介质,接着利用矢量旋转的方法,导出三维TTI、ATI介质弱各向异性近似群速度、近似qP波偏振矢量的解析表达式。TI介质中qP波、qSV波和SH波的偏振方向互相垂直正交,计算介质对称轴方向矢量和传播矢量的叉乘得到归一化的SH波偏振矢量,SH波偏振矢量与qP波偏振矢量求叉乘得到qSV波偏振矢量。基于TTI（ATI）介质地震波相速度,利用泰勒展开公式,推导了Thomsen参数二阶近似的qP-qSV波解耦的波动方程,分析了波动方程的稳定性条件,误差分析表明二阶近似方程精度高于一阶近似方程。伪谱法数值计算结果表明,二阶近似解耦qP-qSV波波动方程在复杂介质中仍然保持稳定,并且实现了qP波与qSV波的彻底分离。