量子霍尔效应无疑是凝聚态物理中非常重要的一个研究领域,曾经三度获得诺贝尔奖,作为推动人类社会的重大发现的重大理论,它的研究已经引起了越来越多的理论和实验物理学家的关注。1980年美国物理学家Klaus von Klitzing在Si的场效应管中观察到整数量子霍尔效应。随着样品纯度和低温强磁场技术的提高,1982年Daniel Chee Tsui等人在更为干净的AlxGa1-xAs/GaAs样品中观察到分数量子霍尔效应。分数量子霍尔效应也因其在量子计算机上的应用前景,获得了广泛的关注。由于电子的动能被强磁场所冻结,所以分数量子霍尔效应为典型的强关联系统,不能用扰动的方法处理。对于电子比较少的情况,精确对角化哈密顿量是研究分数量子霍尔效应非常有用的方法,还可以用一些先进的数值方法比如DMRG或者MPS理论。理论上,数值计算可以根据不同的目的用于不同的几何上,比如可以将电子置于球面或者圆环面上,从而考虑体态的拓扑性质、基态的简并性和磁转子激发等等。本论文以快速旋转的偶极费米子为研究对象,研究了在不同的空间下的分数量子霍尔态。在外加磁场的作用下,偶极子会朝一个方向发生极化,随着外加磁场方向α的改变,偶极子之间的相互作用会发生改变。我们将相互作用分解为x方向和z方向,讨论了不同角度下系统的基态性质,从赝势、能量、平均角动量、密度等方面进行分析计算。我们计算了偶极相互作用在Lz空间下的性质。当我们给系统加一个合适的束缚势,在最低朗道能级上,v=1/3的Laughlin态为系统的基态;在第一朗道能级上,v=2+1/5的Laughlin态为系统的基态。讨论了不同角度下系统的基态性质,从赝势、能量、平均角动量、密度等方面进行分析计算。我们通过平均角动量与角度的关系来找到相变点的位置,我们发现,随着角度的改变且束缚势的大小和角度的大小共同决定系统的量子霍尔态。随着倾斜磁场角度的增大,可以看到,偶极相互作用的密度会逐渐发生衍化,由分离的独立的密度岛变成融合的椭圆形密度,这表明了不同的相叠加和竞争,导致了复杂的相的出现。在分数量子霍尔效应中,纠缠谱不能定量地给出FQH液滴的边缘性质,比如边缘速度,边缘态的重组。而在真实的系统中边缘态的出现是不可避免的,我们可以通过调节一些常数比如背景势的强度、边缘势的强度来对系统进行调节。分数量子霍尔态也就是可以通过这些参量的变化来进行探索。边缘激发是无能隙的,压制了低能部分的体态激发。所以体态激发,如圆盘上的磁转子很少被讨论,因此伴随着体态间隙关闭的拓扑相也很难被描述出来。在本文中,我们提出了一种研究圆盘几何上分数量子霍尔液体的磁转子的方法,这种方法是由体态的能隙决定的。我们以快速旋转的偶极相互作用为例子进行分析。改变磁场的方向实现体态间隙的变化而引起分数量子霍尔态到分子态的相变,我们观察了磁转子激发的多个分支。在质心角动量空间下,计算了偶极相互作用的磁转子、分析了相变点的密度,我们的计算表明圆盘上磁转子的能谱看起来与环面几何及球面几何上的能谱很类似。我们发现模型哈密顿量和库仑相互作用的热力学外推极限能隙是一致的。更重要的是,由于平面上没有曲率,其受到的限尺寸效应影响会更小。当所有的偶极子平行于平面排列时,各向异性的Laughlin态出现在最高激发态的位置。