本博士论文主要是研究具p（x）-Laplacian算子的在RN中的有界光滑域上的形如下面的椭圆方程问题的解的存在性，多解性及本征值问题。这是一个新的而有趣的课题。本文的特点之一是在边界（?）Ω上有包含|u|p（x）-2u的项。我们根据b（x）的形式，考虑了Robin边值问题与Steklov本征值问题。在Robin边值问题中，根据非线性项h（x，u）的特点，我们分四种情况进行讨论。即，Robin本征值问题，非线性项具有一个小扰动，非线性项具有奇异系数以及非线性项具有单调性。本文的另一特点是Robin边值问题中在Ω内没有包含|u|p（x）-2u的一个正项与算子-Δp（x）u相加。因此，我们证明了一个与通常的范数等价的新范数。在Robin本征值问题及Steklov本征值问题中，我们证明了存在无穷多的本征值序列以及给出了相应问题的谱不闭的充分条件。在其余的情形，运用不同的变分原理，我们得到了相应问题的解或正解的存在性及多重性结果。