仿射代数几何是代数几何中的一个领域,仿射空间上的多项式映射是其重要的研究课题.这个研究领域的大多数研究都来源于几个著名的公开问题,比如雅可比猜想、tame生成子问题、Zariski消去问题等.多项式导子是研究多项式映射的重要工具.多项式导子在希尔伯特十四问题、雅可比猜想、Zariski消去问题的研究中发挥了重要作用.高阶导子是导子的推广,在交换代数、环论、李代数及代数几何等领域都有广泛的应用.如果多项式映射F的雅可比行列式为非零常数,则称F是Keller映射.本文首先证明了二维Keller映射的可逆性等价于其在某条直线上的像的光滑性,并用拓扑学的方法给出了另外一种证明,还证明了 Druzkowski映射限制在一条过原点的直线上是单射.然后研究了几类特殊的二元和四元单项导子,给出了其常数环平凡的条件.最后给出了多项式环上的高阶导子的一种表示及一种代数结构,由此证明了有理函数域上的高阶导子除第一项之外的其他各项都不是满射,并讨论了高阶导子的核在纯量扩张后的变化.Cynk和Rusek证明了代数闭域上的多项式映射是可逆的当且仅当它是单的.Gwozdziewicz证明了 C2上的Keller映射是单射等价于其限制在一条直线上是单射.Abhyankar证明了 C2上的Keller映射是单射等价于束F（A）的一般成员是光滑的,其中A = {x = b | b ∈ C}.本文第二章首先研究了 C2上的Keller映射F在某条直线上的像的光滑性,证明了如果C2中有直线L使得F（L）是光滑的,那么F可逆.这推广了 Abhyankar的结果.然后利用拓扑学的方法给出了另一种证明.最后证明了 Cn上的Druzkowski映射F限制在一条过原点的直线L上是单射.第三章主要研究了二元和四元多项式环上的单项导子的常数环.给出了二元单项导子具有平凡的常数环的充要条件.对于三元的严格单项导子d,Nowicki证明了 d没有达布多项式当且仅当d的常数域是平凡的.后来在ωa≠ 0的条件下Nowicki又把这个结果推广到n元的情形,并且猜想ωd≠0的条件是多余的.同时他也指出对于四元的情形,即使对于导子d（x）= t2,d（y）= zt,d（z）= y2,d（t）= xy这个问题的答案也是不清楚的.但是容易发现,这个导子的常数环不是平凡的.为了研究Nowicki这个问题,本章第二节考虑了更一般的一类导子d（x）= zβ13tβ14,d（y）= zβ3tβ24,d（z）= xβ31yβ32,d（t）= xβ41yβ42,给出了 d的常数环中不含二项式和三项式的充要条件.第四章研究了多项式环与有理函数域上的高阶导子.多项式环上的高阶导子集合HS（K[X]）并不像导子那样有一种自然的K[X]-模结构,但却有一个非交换的群结构,称为Hasse-Schmidt群.我们首先给出了高阶导子的每个分量写成偏导的有限乘积的K[X]-线性组合的具体表达式,并且利用这种表示定义了高阶导子的加法运算,证明了（HS（K[X]）,+）是交换群,并且HS（K[X]）的加法群与Hasse-Schmidt群构成了一个brace.然后证明了 K（X）的有限扩张上的高阶导子的每个分量（除第一个分量）都不是满射.这推广了导子的相应结果.最后我们讨论了高阶导子的核在纯量扩张后的变化,证明了若 K（?）K’ 是域扩张,D = {dm}∞m=0 ∈ HS（K[X]）,D’={d’m}∞m=0 ∈ HS（K’[X]）,使得d’m（xi）=dm（xi）,（?）m ≥0,i=1,2,,n,则tr.degKK（X）D=0当且仅当 tr.degK’K’（X）D’ = 0.进一步,如果K（?）K’是有限扩张,那么tr.degKQ（K[X]）= 1 当且仅当 tr.degK’ Q（K’[X]D’）= 1.