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随着金融市场的日益国际化,金融衍生品也随之不断更新换代.奇异期权因其形式多变,交易方式花样繁多而受到越来越多的关注.而影响奇异期权价格的因素很多,这使得其定价异常复杂,因此定价问题是奇异期权理论研究的核心问题之一.另一方面,期权定价的几种波动率模型也受到学者们的广泛关注.我们将奇异期权定价问题与不同波动率模型结合起来,得到了一系列的期权定价结果.本文主要考虑了三种类型期权的定价问题,分别为亚式期权,双波动率障碍期权以及双障碍巴黎期权.亚式期权是一种路径依赖型期权,其到期收益依赖于标的资产在一段时间内的平均价格.对于亚式期权,我们研究了不确定波动率模型下的期权价格,得到了最坏情形价格的近似式,同时也找到了一种求三维随机非线性偏微分方程近似解的方法.双波动率障碍期权是一种新型衍生品,我们将障碍设置在波动率上,在保证交易者利益的同时尽可能的降低投资风险.这是一种同时依赖于标的资产和波动率的复合型期权.对于双波动率障碍期权,我们研究了期权在Heston随机波动率模型以及分数维随机波动率模型下的定价问题.我们将格林函数法与特征函数展开法相结合,分别得到了两种模型下期权价格的指数和近似式.巴黎期权为障碍期权的延伸,其特点是在原障碍期权的基础上增加了一个触发装置,即增加一个变量来记录从超过障碍到返回障碍的时间,若该记录值达到事先设定的时间,期权才会敲出或敲入,否则期权会继续执行.对于双障碍巴黎期权,我们应用格林函数法,拉普拉斯变换以及“移动窗口”技术得到了期权价格的精确表达式.在不确定波动率模型下,标的资产满足下述随机微分方程.假设亚式期权到期时间为T1,标的资产价格为S1.则有dS1(t)=rS1(t)dt+σ1(t)S1(t)dB1(t),其中r为无风险利率,B1(t)是概率空间(Ω,(?),P)上的标准布朗运动.σ1(t)∈A[σ,σ],(?)这里A[σ,σ]司表示一族取值于[σ,σ]司上的循序可测随机过程.令σ=σ0,σ=σ0+ε.那么,最坏情形下亚式期权价格的近似方法如下面定理所示:定理1假设φ1∈Cp2(R+)是Lipschitz连续的,且φ1的直到四阶导数是存在的.那么,#12其中φ1为亚式期权的到期收益函数,V1V表示当波动率区间长度为ε时的最坏情形亚式期权价格.φ∈ Cp2(R+)代表它的直到二阶导数是多项式增长的.这里V10=V1ε|ε=0,V11=(?)且满足下述方程:#12#12其中Y1(t)=∫0tS1(u)du.由定理1可知,我们可以通过计算估计值V10+εV11来计算亚式期权价格V1ε,这里V10表示Black-Scholes模型下的亚式期权价格.而对于V11,可以通过有限差分方法来进行数值计算.对于双波动率障碍期权,我们首先对Heston随机波动率模型下的期权进行定价.假设标的资产价格为S2,则标的资产满足下述随机微分方程:#12其中B2s(t)和B2v(t)是相关系数为ρ2的布朗运动.另一方面,该波动率过程是一个均值回复型过程,V2(t)以速率β2向α2不断趋近.假设期权到期时间为T2,敲定价为K2,波动率上障碍为B2,下障碍为A2.可得期权价格如下:定理2令Heston随机波动率模型下的双波动率障碍期权价格为U(t,S2,V2),设波动率风险价格为A2(t,S2,V2)=λ2V2(t).则U的表达式为:#12其中(?)#12#12#12为了获得期权价格,我们首先通过期权复制方法得到期权价格相应的偏微分方程.再利用格林函数法以及特征函数展开法,最终我们得到期权价格的近似式.对于分数维随机波动率模型下的情形,我们假设标的资产为S3,标的资产满足下述随机微分方程:#12其中BH(t)=B3H(t)+B3v(t).这里μ3为风险价格过程的漂移率,β3为波动率过程的均值回复率.假设B3S(t),B3H(t)和B3v(t)是两两相互独立的,其中B3s(t)和B3v(t)为概率空间上的标准布朗运动,而B3H(t)为一Hurst指数大于1/2的分数维布朗运动.假设期权到期时间为T3,敲定价为K3,波动率上障碍为B3,下障碍为A3.可得相应的欧式期权价格满足如下定理.定理3令分数维随机波动率模型下的双波动率障碍期权价格为U(t,S3,v3).则#12其中#12#12#12(?)由定理2和定理3可以看到,无论在哪种模型下,在应用特征函数展开法之后,期权的价格都为指数和的形式.对于敲出型双障碍巴黎期权的定价问题,我们考虑波动率为常数的情形.假设标的资产价格为S4,且满足下述随机微分方程:dS4(t)=μ4S4(t)dt+σ4 S4(t)dB4(t).假设期权的敲定价为K4,到期时间为T4,上障碍为B4,下障碍为A4.再令J1和J2分别为超越下障碍和上障碍的时间.J1和J2分别表示超过障碍的执行时间,即:当标的资产一次性超越下障碍的时间达到J1或者标的资产一次性超越上障碍的时间达到J2时,期权将被敲出.为了得到期权价格,我们首先通过分析和讨论,得到了期权价格所满足的偏微分方程系统.接下来我们将坐标轴合并,使得三维偏微分方程系统降为二维偏微分方程系统.最后,我们采用了格林函数法并应用拉普拉斯变换以及“移动窗口”技术得到了每一个定义域区间上的解析解.定理4令V41(S4,t,J1),V42(S4,t)以及V43(S4,t,J2)分别表示期权在区域Ⅰ,Ⅱ以及Ⅲ上的价格,其中#12#12#12那么巴黎期权价格为:#12#12(?)其中#12#12#12 f4i(z)=VBS(z,Ji),#12这里,表达式中的变量为:#12#12注意,表达式中的Wi,Ji,i=1,2实际上为上式中的Wi’,Ji’,i=1,2.而li是t轴和Ji轴在45°角的位置合并后组成的新坐标轴.下面给出Wi的表达式如下:#12其中n=[τ4i/Ji]+1,i=1,2.这里Wi(n+1)的表达式为:Wi(n+1)(T4i)=γi1+γi2+γi3+γi4,n=1,2,…,i=1,2,其中#12#12#12#12 hi0(z)=VBS(z,Ji),#12#12 Wi0(T4i)=VBs(X4,T4i+Ji),τ4i∈[-Ji,0],W’in(τ4i)=τ4iWin,τ4i=τ4i-nJi.由定理4可以看到,期权的价格为多重积分加和的形式.通过计算积分我们可以得到准确的期权价格,也就是说我们得到的是价格偏微分方程的解析解定理1-4分别给出了不确定波动率模型下的最坏情形亚式期权价格近似方法,Heston随机波动率模型下的双波动率障碍期权价格近似表达式,分数维随机波动率模型下的双波动率障碍期权价格近似表达式以及波动率为常数情形下的双障碍巴黎期权精确定价公式.对于每个期权定价问题,我们分别对期权价格进行了数值计算.数值计算表明,不确定波动率模型下的亚式期权价格高于Black-Scholes模型下的价格,且这两个模型下的价格差随着模型模糊性的增加而增加.另外,近似方法的误差也是随着模型模糊性的增加而增加的.对于双波动率障碍期权,我们发现两种模型下的期权价格差异并不明显.但当改变波动率障碍区间时,该种期权价格随着障碍区间的增大而增加.对于双障碍巴黎期权,我们发现当退化到单障碍情形时,巴黎期权价格与已有研究结果一致.另一方面,无论怎样调整两个障碍值,随着障碍差的增加巴黎期权价格也增加.