论文部分内容阅读
Banach格与正算子理论是Banach空间理论的重要而独特的一部分.这部分理论的显著特色是所考虑的空间存在某种格序结构.在许多为Banach格与正算子所特有的结果中,序的极端重要性得以体现出来并处于核心地位.本文的主要工作包括三方面:考察经典Banach格的格几乎等距同构像(lattice-almostisometric copy)；讨论Banach格值的Banach-Stone定理；把著名的Hahn—Banach—Kantorovich定理推广到值域空间未必是Dedekind完备的情形.
我们首先讨论是c0(或l1,l∞)的格几乎等距同构像的问题,亦即R.C.James和J.Partington关于c0(或l1,l∞)在Banach空间中几乎等距同构像存在性的格版本.波兰学者M.Wójtowicz(2005)最先考虑格几乎等距同构像的问题,旨在获得有关所研究的像在Banach格中的位置的更多信息.我们不仅希望所考虑的两个Banach格的Banach-Mazur距离能任意接近1,还期望它们的格结构是一样的.
利用不相交列的技巧,我们先证明了Banach格E含c0的格几乎等距同构像当且仅当E含有c0拓扑同构像(copy).其次,Banach格E含l1的格几乎等距像当且仅当l1可补嵌入到E中.如果E具有序连续范数,那么E含有l1的格几乎等距像当且仅当E含有l1的拓扑同构像.最后,利用Partington的结果我们证明了每个含有l∞的格像(lattice copy)的Banach格一定含有l∞的格几乎等距像.特别地,由我们的结果可以直接推出Dedekindσ完备的Sanach格含有l∞的格几乎等距像当且仅当它含由l∞的像,这推广并加强了较早由H.Hudzik和M.Mastylo(1993)得到的关于l∞在Banach格中的几乎等距像的结果,并且我们的方法与之相比是完全不同的.
在第3章里,我们研究了J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)的格值Banach-Stone定理.众所周知,人们已经通过不同的方法得到Banach-Stone定理的不同版本,近年来对各种形式的向量值Banach-Stone定理的研究方兴未艾.设X,Y是紧致Hausdorff空间,E是一个非零的Banach格.C(X,E)按照点序(pointwise ordering)和通常范数成为一个Banach格.最近,J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)证明了如下格值Banach-Stone定理:假设存在格同构(latticeisomorphism)Φ:C(X,E)→C(Y,R)满足只要f没有零点Φ(f)就没有零点这一条件,那么X与Y同胚,E与R格同构.
我们断言,Cao,Reilly和Xiong的结果本质上是如下已知结论的直接结果:如果C(X)与C(Y)格同构,那么X与Y同胚.我们从而证实了J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)提出的猜想,用到的证明方法是很基本的.并且我们注意到,如果把X,Y的紧性减弱到实紧性(realcompactness),则Cao,Reilly和Xiong的结论仍然成立.进一步地,我们还证明了如果Φ:C(X,E)→C(Y,R)是一个线性双射且满足Φf没有零点当且仅当f没有零点,那么即使没有Φ是格同构的假设条件,X与Y也是同胚的.
在经典的Hahn—Banach-Kantorovich算子延拓定理中,值域空间被假定是Dedekind完备的,即任何非空集合若有上界就一定存在上确界.这一假设条件至关重要.利用Y.A.Abramovich和A.W.Wickstead(1993)关于定义域空间的可分性与值域所在空间的可数插值性(σ-interpolation property)相互作用的思想,值域空间Dedekind完备性的假设条件可以被减弱.近年来,N.D(a)net(2001,2002),R.M.D(a)net和N.C.Wong(2002a,2002b)利用Abramovich和Wickstead的思想得到若干关于算子在值域空间未必是Dedekind完备的条件下延拓性的结果.
在第4章里,受N.D(a)net,R.M.D(a)net和Wong的启发,我们将证明每个定义在可分Fréchet格(Fréchet lattice)的优化子空间(majorizing subspace)上的正线性算子(positive operator),若值域所在的空间是具有Fatou性和可数插值性的Hausdorff局部实心Riesz空间(locally solid Riesz space),那么该正算子可以线性延拓成为定义在全空间上的正算子.此外,我们还给出刻划正算子的端点延拓的特征,其中的值域空间假设仅具有比Dedekind完备性明显弱的可数插值性.设E是可分的Fréchet格,F是一个具有可数插值性的Hausdorff局部实心Riesz空间,G是E的向量子空间.又设T:G→F是正线性算子,ε(T)是T的所有正延拓的集合,S∈ε(T).那么S是集合ε(T)的端点当且仅当对于任意满足P(x)≤S(｜x-u｜),()x∈E,u∈G的连续格值半范数P:E→F+,我们有P=0.