拓扑材料的探索和拓扑物性的研究是当前凝聚态物理领域中的一个重要研究课题,而第一性原理计算方法是研究材料拓扑性质的最直接工具。在本文的绪论中,我们介绍了密度泛函理论,其核心是从Hohenberg-Kohn定理出发,导出单电子薛定谔方程——Kohn-Sham方程,这是第一性原理计算方法最坚实的理论基础。对称性在物理研究的各个领域都发挥着至关重要的作用,群论作为抽象归纳出来的数学工具,可以大大简化物理问题的研究。在晶体平移对称性的限制下,我们研究的对象局限于230个空间群对称,或者在考虑时间反演对称性后局限于磁群。一个能较准确地描述希尔伯特子空间中系统哈密顿量的有效模型,往往是研究系统性质的前提。而基于对称性的k·p有效哈密顿量,已经在晶体的拓扑性质研究中发挥重要作用。在本文的一开始,我们从最基本的对易关系出发,详细介绍了对称性是如何约束k·p哈密顿量形式的,同时,我们将原子轨道线性组合形成的表示分解为两个表示的直积,从而可以实现程序化地自动计算在给定对称性和基矢下的哈密顿量。传统的手动构建k·p模型的方法十分繁琐,尤其在处理没有PT对称性的体系时,由于需要考虑更多的厄米矩阵基矢,很难得到对称性约束下的完整哈密顿量。这种自动化的方法则可以适用于任何磁群对称性的体系。我们将这个自动化的方法成功应用到了磁性拓扑材料Mn Bi2Te4和Mn2Bi2Te5的研究中。A类反铁磁相的Mn Bi2Te4,时间反演对称性破缺,取而代之的是组合了分数平移的时间反演对称性S,导致了表面形成能隙,具有P和S共同保证的静态轴子场θ=π,是研究拓扑磁电效应、反常霍尔效应、轴子绝缘体的理想材料;铁磁相的Mn Bi2Te4破坏了T和C2x,但保留了它们的组合C2xT,在微小形变下它成为单对理想外尔半金属;A类反铁磁相的Mn2Bi2Te5破坏了P和T,但保持PT,具有强的动态轴子场,也带来了新奇的拓扑现象,如全新的元激发——轴子极化激元、在外电场下呈现不稳定性。