本论文系统研究了数值求解常微分方程(ODE)、微分代数方程(DAE)、二阶振荡微分方程和孤立波方程的微分变换法(differential transformation method,简称为DTM).这些方程在诸如电路问题、约束力学等应用科学领域经常出现,我们的工作重点落在对这些问题设计有效的数值方法上,希望数值算法时尽可能保持精确解的定性行为.微分变换法是求解微分方程的一种新方法,它来源于函数的Taylor,展开,但其根本的思想是避开直接求未知函数的高阶导数值,而通过对微分方程的微分变换得到相邻阶的高阶导数值之间的代数关系,再从初值出发通过代数递推得到各阶导数的值.本论文分为五章.第一章概述了微分方程和微分代数方程数值解的基本概念,包括常微分方程(ODE)初值问题解的存在唯一性和微分代数方程(DAE)的指数(index)概念.第二章给出了一维微分变换的定义和基本性质,建立了求解常微分方程的微分变换法,并将其应用于一个励磁电路系统.研究结果显示：微分变换法适用于直流变化过程,而不适于交流高频变化过程.第三章利用Butcher根树理论证明了关于复合函数高阶微分的Faa di Bruno公式,建立了的求解高指数线性微分代数方程(DAEs)微分变换法(DTM),并将微分变换法应用于某些非线性高指数微分代数方程组,对约束系统建立了基于局部参数化的微分变换法.第四章针对解具有振动特征的微分方程建立了修正的微分变换法.首先用微分变换法求出方程的一个有限幂级数解,再作Laplace变换,然后通过Pade逼近将其转化为亚纯函数形式,最后通过Laplace逆变换得到方程数值解.数值实验结果表明,这种用修正的微分变换法大步长计算得到的数值解能保持精确解的振荡性态.第五章将一维微分变换推广到二维情况,得到适用于偏微分方程(PDE)的二维微分变换方法(2DTM),并将其应用于Klein-Gordon方程,Schrodinger方程,KdV方程等孤立波方程.数值实验结果验证了二维微分变换方法的高效性.概括起来,本论文主要获得了以下成果：●建立了复合函数的微分变换法则；●提出了对线性微分代数方程的微分变换通法；●将微分代数方程看成流形上的微分方程,建立了求解微分代数方程(特别地,约束系统)的基于局部参数化的微分变换法；●针对振动问题解的特征,建立了适应于振动问题修正的微分变换法；●建立了二维微分变换方法,并用于求解几种孤立波方程.