【摘 要】
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分形几何已渗透到数学的各主要分支,促进了学科方向的交叉融合,取得了丰富的研究成果.例如:在分形几何与调和分析交叉研究方面,Jorgensen和Pederson[38]首次发现了 一个奇异非原子测度（四分Cantor测度）μ所对应的L2（μ）空间存在指数正交基EA={e2πi<λ,x:λ ∈Λ}.这一成果迅速使分形集上的Fourier分析成为数学研究的热点.我们称具有上述性质的测度μ为谱测度,称A为
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分形几何已渗透到数学的各主要分支,促进了学科方向的交叉融合,取得了丰富的研究成果.例如:在分形几何与调和分析交叉研究方面,Jorgensen和Pederson[38]首次发现了 一个奇异非原子测度（四分Cantor测度）μ所对应的L2（μ）空间存在指数正交基EA={e2πi<λ,x:λ ∈Λ}.这一成果迅速使分形集上的Fourier分析成为数学研究的热点.我们称具有上述性质的测度μ为谱测度,称A为μ所对应的谱.本论文由两部分构成.第一部分是研究分形测度的谱性,第二部分是研究上半平面H的Loewner微分方程的容量与驱动函数.研究分形测度μ的谱性就是考查L2（μ）中的函数是否有Fourier展开,这是一件十分有意义的事情.要决定μ的谱性,首先需要弄清μ的Fourier变换μ的零点分布,目前人们对此知之甚少,但有各种期待.本论文的主要贡献是构建了一类自仿测度,它们是著名的Bernoulli卷积在高维空间的推广.这些测度提供了各种例子,使得μ的零点分布恰好符合人们期待;我们采用分析和代数等方面的知识和技巧来研究这类自仿测度的谱性:若μ是谱测度,我们找到了谱A;若μ不是,我们给出了正交指数函数系EA的最大个数.这些成果的特殊情形包含了近期的一些著名结论[9,22,55].我们研究分形测度的谱性的第二项工作是部分证明了非谱猜想[54,55]:当数字集D的mask多项式在(0,1]n区间上的零点集为有限且是有理数集时,我们证明了非谱猜想成立.;第三项工作是给出了某类Sierpinski-Moran测度成为谱测度的一些充分条件,并且找到了对应的谱Λ.论文的第二部分是研究上半平面H的Loewner微分方程:（?）,其中λ（t）为实值连续函数,被称为驱动函数（或项）;并且b（t）∈C1为上半平面容量.如果λ（t）是随机的,则该方程就是著名的随机Loewner方程（SLE）,它属于随机分析、复分析与分形几何的交叉领域,是当今数学研究的一个主流方向,在统计物理、渗流等学科方向也有着重要的意义.我们研究该方程中迹Kt为圆弧裂纹（?）的情形,我们给出了驱动函数λ（t）和上半平面容量b（t）的精确表达式,从而得到了驱动函数λ（t）在t = 0附近的准确增长阶.这两个量反映出映照gt（z）的几何与分析性质,在SLE理论中占有十分重要的地位.
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