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在自然环境研究和工业生产过程中,不可压Navier-Stokes方程组和非线性对流扩散方程扮演着十分重要的角色。比如,在研究多相流问题的相场模型中,描述流体流动的是不可压Navier-Stokes方程组,控制相界面移动的Allen-Cahn方程（或Cahn-Hilliard方程）是对流扩散方程;在研究Rayleigh-Bénard对流系统时,控制流体流动的仍然是不可压Navier-Stokes方程组,描述系统温度场变化的温度场方程也是对流扩散方程;同样不可压Navier-Stokes方程组和总焓方程（对流扩散方程）是研究固液相变问题时的常用模型。所以,发展求解这两类方程的高效数值模拟方法,对于研究自然环境变迁、提高工业生产效率具有重大的科学意义。随着计算机技术的发展,基于Boltzmann方程发展的介观数值模拟方法以其天然并行、容易处理复杂边界、方便求解多场耦合问题的特性,在一众数值模拟方法中脱颖而出。从上个世纪末开始快速发展的格子Boltzmann方法（LBM）,由于其介观数值方法的特点,使其在流体动力学的相关研究中具有显著的优势,也取得了耀眼的成绩。本世纪初,也有学者将LBM扩展到非线性对流扩散方程领域,利用其算法简单、天然并行的特点,研究了不少前沿物理问题。但是,LBM由于其本身碰撞-迁移的特点,在发展的道路上也逐渐显露出一些难以克服的缺点。比如,不能使用非均匀网格,稳定性较差等。尽管有诸多学者发展了多松弛格子Boltzmann模型、长方形格子Boltzmann模型这样的改进模型,但是这些改进模型所起到的优化作用也是有限的。另一方面,离散统一气体动理学格式（DUGKS）作为一种有限体积法和LBM相结合的新的介观数值方法,稳定性比LBM大幅提高,且能够灵活使用非均匀网格,但是其在不可压Navier-Stokes方程组和一般非线性对流扩散方程领域的研究尚浅。基于上述情况,我们开展了以下几个方面的工作:（1）我们构建了新的求解不可压Navier-Stokes方程组的DUGKS模型。和原有的不可压DUGKS模型不同的是,我们采用了不同的平衡态分布函数,使得密度和压力独立,不再需要依赖状态方程求解压力,这与不可压Navier-Stokes方程组本身不需要状态方程封闭相符合。然后,我们通过Chapman-Enskog分析从理论上证明了我们构建的DUGKS模型可以准确求解宏观方程。为了满足压力的Dirichlet边界条件,我们采用了和前人不同的计算网格,使用了新的非平衡态外推边界处理格式。随后,我们通过一些典型不可压流动算例验证了我们的DUGKS模型的二阶收敛精度,并且通过和前人模拟结果的比较说明了 DUGKS模型具有更好的稳定性。同时,我们也通过调整马赫（Ma）数验证了我们的DUGKS模型可以减小可压缩效应带来的误差。（2）针对一般非线性对流扩散方程,我们发展了一种新的DUGKS模型,填补了 DUGKS方法在一般对流扩散方程领域的研究空白。和不可压Navier-Stokes方程组不同,因为对流扩散方程中对流项和源项可能为所求宏观量的非线性函数,为了保持DUGKS良好的并行特性,我们设计了三种隐化显的方式,保证其在任何情况下都不需要求解方程组。其次,我们重新设计了计算微通量的演化方程,减少了不必要的梯度计算。然后,通过Chapman-Enskog分析,我们证明了在相同的矩条件下,离散速度Boltzmann方程和我们重新设计的计算微通量的演化方程都可以恢复到宏观非线性对流扩散方程。最后,在一系列典型的数值算例中,我们验证了当前DUGKS模型具有二阶收敛精度。同时,和LBM的比较结果说明了非均匀网格的优势以及我们的DUGKS更好的稳定性。（3）通过前面对DUGKS模型的深入研究,我们发现现有的DUGKS模型都有一些缺点,比如无法解决各向异性对流扩散问题,使用反弹边界处理格式时边界滑移效应会带来额外的误差等。为了解决这些问题,我们引入多松弛碰撞算子,首次构建了多松弛离散统一气体动理学格式（MRT-DUGKS）,并通过Chapman-Enskog展开证明了在适当的矩条件下,MRT-DUGKS可以准确求解不可压Navier-Stokes方程组和一般非线性对流扩散方程。值得注意的是,不同于单松弛模型,在MRT-DUGKS中,每个方向粒子的碰撞都与所有方向有关,所以单松弛模型中压力的计算思想在MRT-DUGKS中不能完全沿用。为了给出一个不受问题空间维度限制的统一的压力计算公式,我们观察研究了不同维度下多个离散速度模型的碰撞矩阵的逆,最终得到了一个通用的压力计算方法。在数值模拟过程中,我们通过两个各项异性问题验证了当前MRT-DUGKS模型在处理相关问题上的能力,并通过二维泊肃叶流研究了可调因子在减小边界滑移效应,提高模型精度方面的作用。（4）基于前面的工作,我们通过构建热DUGKS模型来模拟耦合了不可压Navier-Stokes方程组和温度场方程的对流传热系统。为了克服研究三维问题时的高计算资源消耗问题,我们将GPU高性能计算算法应用到了热DUGKS模型中,提高了计算效率30倍左右。然后,我们通过对三维自然对流的一些模拟数据的对比,验证了热DUGKS模型的可靠性。最后,我们研究了不同瑞利（Ra）数下,混合热边界条件对三维Rayleigh-Bénard对流系统的温度分布、流场分布和传热效率的影响。综上所述,本文首先针对不可压Navier-Stokes方程组和非线性对流扩散方程构建了相应的DUGKS模型,克服了 LBM稳定性不够好,不能用非均匀网格的缺点,也对前人的不可压DUGKS模型的缺点做了相应的改进。在此基础上,我们引入多松弛碰撞算子,构建了 MRT-DUGKS模型,克服了现有DUGKS模型不能求解各向异性对流扩散问题、使用反弹边界处理格式时边界滑移效应会导致误差变大等缺点。最后,利用介观数值方法的特点,我们通过耦合热DUGKS模型研究了不同Ra数下混合热边界条件对三维Rayleigh-Bénard对流系统温度分布、流场分布和传热效率的影响。