【摘 要】
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伴随着大数据时代的来临,张量分解方法引起了许多学者的关注,已经逐渐成为科学计算领域的研究热点,近十年发展迅速.张量列(TT)和量子化张量列(QTT)分解方法已经发展成为非常
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伴随着大数据时代的来临,张量分解方法引起了许多学者的关注,已经逐渐成为科学计算领域的研究热点,近十年发展迅速.张量列(TT)和量子化张量列(QTT)分解方法已经发展成为非常有效的适用于高维数据的降维工具,而且也己经被广泛应用于PDE数值求解、算法加速和信号处理等领域.本文主要研究QTT分解的相关理论和应用.首先,定义在推荐系统中很有用的分层张量,并以此为基础推广QTT分解的概念,推导QTT分解与TT分解之间的等价性,给出常见张量运算在QTT表示下的运算法则.证明了此类运算(加法、张量乘法、Hadamard积、Kronecker积、矩阵的转置等)都能转化为QTT核的运算,使之能自然并行实现.分层张量的引入使得有关张量分解的理论和证明更加直观和简洁,更有利于处理复杂的问题.其次,详细讨论了常见张量的精确QTT表示构造方法,给出了基于QTT分解的分治算法.该算法提供并行计算方案的同时还提高了分解过程的稳定性.最后,讨论了QTT分解与小波变换和卷积之间的区别和联系,指出QTT分解能多分辨率提取张量的主成分,并将其应用于高维数字信号去噪和三维MRI图像的边缘检测中.数值实验表明QTT分解方法是一种很好的特征提取工具.
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