分数阶振动微分方程在机械力学、电子科学、流变学、黏弹性、高分子、控制论等许多领域具有广泛应用,同时与应力应变问题、电子电路问题、流变问题、黏弹性问题、蠕变松弛问题等有着密切联系,它已为我们研究黏弹性机械振动、RC电路、RLC电路、能量耗散等问题提供了一个统一全面的框架,已成为解决这些问题的有力工具.由于它所包含问题的广泛性和解决问题的深刻性,近数十年受到国内外许多学者的广泛关注.本文将研究分数阶振动微分方程的解、稳定性、迭代公式及其解的适定性等问题.全文共分为七章.第一章,简要介绍了本课题产生的背景和意义,以及近年来研究概况和本文的主要工作及创新之处.第二章,引入本文所用到的相关预备知识,包括文中将要用到的一些记号和Euler积分函数,分数阶微积分和Mittag-leffler函数.第三章,分别推导了 Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数与Shukla函数的复合,其中Shukla函数是一个四参数的Mittagg-Leffler函数.我们调查比较了广义Mittag-Leffler函数与两类分数阶导数复合结果之间的区别,并且解释了产生此差异的原因.同时推广了广义Mittagg-Leffler函数的分数阶导数.最后,利用两个算例及其数值结果,验证了结果的正确性.本章的结论将用于下文定理的证明.第四章,研究了阶数属于(0,2)的广义Bagley-Torvik方程.首先,通过构造一个含有Caputo导数的max-度量,获得了该方程初值问题解的存在唯一性.其次,分别获得了基于Prabhakar函数和Wiman函数的方程的显式解,推广了一般Bagley-Torvik方程的已有结果.最后,利用两个例子验证结果的正确性.第五章,讨论了单自由度分数阶振动方程的渐近稳定性和BIBO稳定性.首先,通过状态空间分解法,获得一个等价的非对称阶的分数阶微分系统,根据此等价系统的特征方程的特征根的分布,得到了原系统渐近稳定性的新判据.其次,根据原系统的极点分布建立了BIBO稳定的新判据.最后,在三种不同的情况下,给出了一个例子来说明新判据的有效性以及分数阶的记忆和遗传特性.第六章,研究了一类含有两种不同分数阶的时滞振动方程.首先,通过数学归纳法和迭代方法,构建了一个基于多参数Mittag-Leffler函数的广义Gronwall不等式.接着,利用该不等式对方程的解进行广义Mittag-Leffler估计.然后,借助分步法,获得了方程的显示解、迭代公式和解的存在唯一性.最后,给出一个例子验证结果的正确性.第七章,对论文所作的工作进行了总结和展望.