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数学家一直很关注形如如下代数方程整数解问题a2+b2=c2.这个众所周知的方程描述了一个直角三角形三边a,b,c之间的关系,是丢番图方程中最简单的例子之一.欧几里得完全给出了这个方程的整数解,但是对于更复杂的方程,这便相当困难.1637年,费马提出了如下更一般的方程an+bn=cn没有正整数解,当n为大于2的整数时.虽然费马声明已经给出了这个猜想的一般证明,但是他除了n=4的特殊情形外没有给出其它证明.直到1994年,Andrew Wiles给出了费马大定理的完整证明.在费马大定理证明中,一个关键点就是模定理和费马大定理之间的显然联系,这是1984年由Gerhard Frey注意到的,并且在1986年被Ribet证明了,说的是,如果费马的方程存在一组整数解,那么就可以用其创造一条如下形式的半稳定椭圆曲线y2=x（x-ap）（x+bp）,且这条椭圆曲线不是模化的.然后在1994年,Wiles证明了半稳定椭圆曲线的模定理（Taniyama-Shimura-Weil猜想）,结合Ribit的定理,给出了费马大定理的完整证明.对于任意一条给定的椭圆曲线E,我们可以找到如下相对应的Weierstrass型的仿射模型E:y2=x3+Ax+B其中A,B∈Z,并且是一条亏格为一的非奇异平面曲线.如果一条椭圆曲线E定义在Q上,那么E（Q）（?）Zr（?）E（Q）tors对于整数r≥0,这里E（Q）tors是一个有限Abel群,这是1922年被Mordell证明的.这个整数r称为椭圆曲线的秩,是一个基本的算术不变量.椭圆曲线秩为零当且仅当E（Q）是有限的.定义C是一个正整数,Γ0（C）为SL2（Z）的同余子群,X0（C）为相对应的紧致化的模曲线.根据Wiles的关于半稳定椭圆曲线的模定理以及Breuil-Conrad-Diamond-Taylor的推广,存在一个定义在有理数域上的非平凡有理映射这个映射把在无穷远点处的尖点[∞]映在E的零元素O上.记[0]为复平面上零点处的尖点,这样的话根据Manin-Drinfeld的定理,φ（[0]）是E（Q）上的一个扭点.我们称C为椭圆曲线E的导子.令q为一个素数.定义那么我们可以定义椭圆曲线E的复L-级数为这里ε=0,±1根据E（Q）在q处的约化型.我们将其视为复变量s的函数,且这个无穷欧拉乘积当Re（s）>3/2时是收敛的.我们已经知道L（E,s）具有解析连续性可以延拓到整个复平面上,而且满足一个函数方程,对于任意的s,从L（E,s）到L（E,2-s）.直到当今不可思议的是对于一般的A和B还没有任何认证的方法能够计算椭圆曲线的秩.应该有这么一种方法正如现当今最重要的开放性问题Birch-Swinnerton-Dyer猜想所预示的那样Birch和Swinnerton-Dyer提出椭圆曲线的秩等于椭圆曲线的一个解析不变量,也就是椭圆曲线L-函数中心值s=1处零点的阶数,亦这个猜想随后被延伸,包括椭圆曲线L-函数中心值s=1处泰勒展式精确到首项系数.具体的猜想是由下式给出的这里|Ⅲ（E）|是椭圆曲线E Tate-Shafarevich群的阶,具体定义为是一个猜想为有限的群.其它项均为椭圆曲线的一些基本元素和因子.对于每个无平方因子且与C互素的整数M,且M≡1 mod 4,我们定义这里Ω∞（E（M））是E（M）的最小正的实周期.我们都知道L（alg）（E（M）,1）是一个有理数.我们记ord2为有理数域上在2处赋值的阶,并且规定ord2（2）=1.定义ord2（0）=∞.令f（x）为椭圆曲线E的2-分裂多项式.当f（x）在Q上不可约时,我们定义数域F为有理数域毗连f（x）的一个定根.令素数q在E上具有好的约化,令aq为E在q处Frobenius的迹,并记Nq：=1+q-aq.对于每个整数m>1,令E[m]为E的m-分裂点构成的群.并且,我们定义E的一个有理素数q在域F中是惰性的,如果它是不分歧的且在域F的q处只有唯一的素数.我们运用Manin[10]和Cremona[5]在模符号上的一些工作,证明了如下一系列一般结果.定理0.0.1.令E为定义在Q上的Γ0（C）-最优椭圆曲线,判别式为负,E[2]（Q）=0,且满足ord2（L（alg）（E,1））=0.令M为形为M=Eq1q2…qr的任意整数,且满足（M,C）=1,这里C为E的导子,r≥1,q1,,,qr为任意不同的且在域F中是惰性的奇素数,选择适当的（?）=土1使得M三1 mod 4.那么L（E（M）,1）≠0,且我们有因此,E（M）（Q）和Ⅲ（E（M）（Q））都是有限的.定理0.0.2.假设定理0.0.1中的条件成立.我们同时假设E的所有具坏约化的素数都在Q（（?））中分裂,并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E（M）的2部分BSD猜想成立.定理0.0.3.令E为定义在Q上的Γ0（C）-最优椭圆曲线,判别式为正,E[2]（Q）=0,且满足ord2（L（alg）（E,1））=1令M为形为M=qlq2…qr的任意整数,且满足（M,C）=1,这里C为E的导子,r≥1,q1,,qr为任意不同的且在域F中是惰性的奇素数,且M≡1 mod 4那么L（E（M）,1）≠0,且我们有因此,E（M）（Q）和Ⅲ（E（M）（Q））都是有限的.定理0.0.4.假设定理0.0.3中的条件成立.我们同时假设E的所有具坏约化的素数都在Q（（?））中分裂,并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E（M）的2部分BSD猜想成立.定理0.0.5. 令E为定义在Q上的Γ0（C）-最优椭圆曲线,判别式为负,且E[2]（Q）≠0.令M为形为M=Eq的任意整数,这里q为满足（q,C）=1的任意奇素数,C为E的导子,并选择适当的（?）=土1使得M≡1 mod 4.假设L（E,1）≠0.如果ord2（Nq）=-ord2（L（alg）（E,1））≠0,那么L（E（M）,1）≠0,且我们有因此,E（M）（Q）和Ⅲ（E（M）（Q））都是有限的.定理0.0.6. 令E为定义在Q上的Γo（C）-最优椭圆曲线,判别式为正,且E[2]（Q）≠0.令q为满足q≡1 mod 4和（q,C）=1的任意奇素数,这里C为E的导子.假设L（E,1）≠0.如果ord2（Nq）=1-ord2（L（alg）（E,1））≠0,那么L（E（M）,1）≠0,且我们有因此,E（M）（Q）和Ⅲ（E（M）（Q））都是有限的.定理0.0.7.令E为定义在Q上的Γ0（C）-最优椭圆曲线,判别式为负,E[2]（Q）≠0,且满足L（E,1）≠0.令M为形为M=（？）q1q2…qr的任意整数,且满足（M,C）=1,这里C为E的导子,r≥1,q1….,qr为任意不同的奇素数,选择适当的（?）=±1使得M≡1 mod 4.如果ord2（Nqi）>-ord2（L（alg）（E,1））对于M的至少一个素因子qi（1≤i≤r）成立,那么我们有定理0.0.8.令E为定义在Q上的Γ0（C）-最优椭圆曲线,判别式为正,E[2]（Q）≠0,且满足L（E,1）≠0.令M≠1为任意整数,且满足M≡1 mod 4和（M,C）=1,这里C为E的导子,那么我们有最后,我们考察了Neumann-Setzer这族椭圆曲线,其导子为p,这里p为形如u2+64的素数,且整数u≡1 mod 4,其极小Weierstrass模型为我们证明了如下定理.定理0.0.9.令q为任意模4余3的素数,且在Q（（?））中是惰性的.当u≡5 mod 8时,那么L（A（-q）,1）≠0,且我们有因此,A（-q）（Q）是有限的,Tate-Shafarevich群Ⅲ（A（-q）（Q））是有限的且基为奇数.更进一步,A（-q）的2部分BSD猜想成立.我们详细考察了Neumann-Setzer这族椭圆曲线的二次扭,并猜想定理将对更多类的Neumann-Setzer椭圆曲线二次扭成立.