【摘 要】
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Rockafellar在1976年发表了两篇论文,一篇是极大单调算子的邻近点方法,另一篇是邻近点方法在不等式约束凸优化的原始最优性,对偶问题的最优性和极大极小最优性的应用.其中,对偶问题最优性的邻近点方法是著名的增广拉格朗日方法.对应于极大极小最优性的极大单调算子的邻近点方法即邻近乘子方法.这些方法在求解各种结构凸优化问题上取得了巨大的成功,但非凸优化问题的邻近乘子方法和复杂非凸矩阵优化的增广拉格
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Rockafellar在1976年发表了两篇论文,一篇是极大单调算子的邻近点方法,另一篇是邻近点方法在不等式约束凸优化的原始最优性,对偶问题的最优性和极大极小最优性的应用.其中,对偶问题最优性的邻近点方法是著名的增广拉格朗日方法.对应于极大极小最优性的极大单调算子的邻近点方法即邻近乘子方法.这些方法在求解各种结构凸优化问题上取得了巨大的成功,但非凸优化问题的邻近乘子方法和复杂非凸矩阵优化的增广拉格朗日方法的收敛性分析仍然是空白.本论文将关注这些理论问题.本文获得的结果可总结如下:1.第2章将Rockafellar的邻近乘子方法应用于等式约束优化问题,其中子问题比增广拉格朗日方法具有更好的性质.证明了在线性无关约束规范和二阶充分最优性条件下,等式约束优化问题的邻近乘子方法的收敛速度是线性的,且比率常数与1/c成正比,其中c是超过阈值c*>0的惩罚参数.此外,当参数c增加到+∞时,邻近乘子方法的收敛速度是超线性的.2.第3章分析了非凸非线性规划问题的邻近乘子方法的收敛速度.首先,在严格互补条件下证明了邻近乘子方法的收敛速度是线性的,且速率常数当比率‖（μ0,λ0）-（μ,λ）‖/c足够小时正比于1/c.这意味着当参数c增加到+∞时,邻近乘子方法的收敛率是超线性的.其次证明了,在没有严格互补条件的情况下,邻近乘子方法的收敛速度当c超过阈值时,与1/c成比例.3.第4章将Rockafellar的邻近乘子方法应用于求解非线性半定规划问题,证明了在约束非退化约束规范和强二阶充分最优性条件下,邻近乘子方法的收敛速度是线性的,且比率常数与1/c成正比,其中c是超过阈值c*>0的惩罚参数.4.第5章提出了两个基本假设,在此假设下估计了一类复合优化问题的增广拉格朗日法的收敛速度.通过验证这两个基本假设,分析了非线性半定核范数复合优化问题的增广拉格朗日方法的局部收敛速度.不需要严格的互补性,证明了在约束非退化条件和强二阶充分条件下,收敛速度是线性的,比率常数与1/c成正比,其中c是超过阈值c>0的惩罚参数.该分析是基于核范数的邻近映射和投影算子在正半定对称矩阵锥上的映射的变分分析.
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