Gauss和与Jacobi和是两类重要的特征和,在基础数学和应用数学领域都有广泛应用。经典的Gauss和与Jacobi和通常是定义在整数环的剩余类环或者是有限域上的。近年来,随着理论的发展和应用的需要,人们开始研究其他有限含幺环上的Gauss和与Jacobi和。目前,交换的有限含幺环上的Gauss和与Jacobi和已经有相对完善的研究。而对非交换环的情形,仅对有限域上矩阵环的Gauss和与Jacobi和有了初步了解。本文将讨论一类非交换环,即剩余类环上的矩阵环的Gauss和与Jacobi和。我们将在这一类环上定义Gauss和与Jacobi和,并试图计算它们。我们将看到,在此种非交换环上,与有限域上矩阵环不同,存在大量非本原的情况。我们可以证明,这些非本原的Gauss和与Jacobi和或者为零,或者可以归结到本原的情形,而本原情形的Gauss和与Jacobi和具有经典的Gauss和与Jacobi和的性质。特别的,我们推广了董佳麒[23]中结果并证明了其提出的猜想。