本文主要研究了两类特征值优化问题：一类是关于区域密度分布的约束优化问题，一类是关于边界控制的约束优化问题。针对这两类不同的问题，本论文提出了贪婪算法、单调算法以及边界分片常数水平集方法。　　 我们首先讨论两种密度时，负拉普拉斯算子的最小特征值取极小、极大以及次小特征值与最小特征值之差取极大这三类问题。利用贪婪算法在每次迭代过程中，都是朝着局部最好的方向发展的特性，我们提出两类贪婪算法：第一类贪婪算法是从不满足面积约束条件的情况下，根据单元的测度选出最佳单元，改变该单元的密度值，循环迭代直到面积约束条件满足时停止。第二类贪婪算法在一开始就满足面积约束条件，在两种密度所在的区域选出各自的最佳单元，然后交换彼此的密度值，直到迭代终止。这两种贪婪算法都很好的解决了三类特征值优化问题。为了加速迭代，我们还提出了针对两类贪婪算法的加速算法。我们加速算法的思想是，把每次迭代只改变一个单元（或者一对单元）的密度值，变成每次迭代改变一组最佳单元的密度值。这样，大大加快了收敛速度，并且得到最优解。在数值例子中，这两类贪婪算法都十分有效且快速的求解了带面积约束的极小化、极大化最小特征值以及极大亿次小特征值与最小特征值之差这三类问题。　　 其次，我们把两种密度推广到多种密度的情况。此时，我们只考虑极小化负拉普拉斯算子的最小特征值问题。我们把连续的问题用有限元方法离散后，根据离散问题的特性，设计的一种单调算法。我们对算法经行了理论分析并且给出了算法单调性的证明。我们算法的出发点与文献[21]不同。文献[21]其主要思想是从优化的角度，分析了各种密度区域的分界线。我们的算法主要思想是通过排序，更新下一次的密度分布。此外，我们的单调算法和参考文献[73]中水平集方法也有显著不同。与文献[73]中跟踪运动前端的水平集方法比较，我们的单调算法收敛的更快，使用很少几步迭代就能达到λ1最小值。更进一步，在数值例子中，我们发现网格尺寸和计算minλ1有依赖关系。网格越细，最小特征值的极小值也越小。因此，在我们的算法中采用200×300网格尺寸，这个网格尺寸是文献[73]网格尺寸的25倍。在数值例子中，我们给出了两种密度、三种密度和十种密度的情况，并且在矩形区域和L-型区域中分别应用单调算法。我们的数值结果表明，单调算法能快速有效地求解多种密度时极小化最小特征值问题。　　 最后，我们讨论了特征值优化问题的边界控制问题。在分片常数水平集方法的基础上，我们提出了边界分片常数水平集方法，推广了分片常数水平集函数。对于特征值优化问题，我们首先通过正则化的方法把混合边界条件变成一个Robin边界条件。然后引入边界分片常数水平集函数，把最小特征值由原来依赖于边界转化为依赖于边界分片常数水平集函数。根据约束条件的不同处理，我们提出了罚因子边界分片常数水平集算法和增广拉格朗日边界分片常数水平集算法。对罚函数和拉格朗日函数关于边界分片常数水平集函数求第一变分，我们引入人工时间项，并用三阶Runge-Kutta格式来离散这个常微分方程。这样，我们动态地更新边界分片常数水平集函数。在数值例子中，我们的罚因子边界分片常数水平集算法和增广拉格朗日边界分片常数水平集算法十分有效的解决了椭圆型区域和L-型区域的特征值优化问题的边界控制问题。