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有限体积元法,又称为广义差分法,最早由李荣华教授于1982年提出,这一方法的主要优点是保持物理量的局部守恒性,目前其理论及应用都获得了很大的发展.本文主要以椭圆型方程(Poisson方程)为模型,研究高次有限体积元法的收敛性及超收敛性相关的问题.求解Poisson方程的线性有限体积元法的双线性形式是对称的,且数值解具有最佳的L2模收敛阶和在应力佳点处有导数的超收敛性.而对于求解Poisson方程已有的Lagrange二次有限体积元法是不对称的,且没有关于按L2模的收敛性分析.我们试图通过调整对偶单元的做法,来得到求解Possion方程的Lagrange二次有限体积元法的对称性及最佳的L2模收敛阶.研究发现,二次元有限体积法在通过双参数控制的对偶剖分体系之下,格式是不具对称性的.但是通过数值实验发现,对偶剖分的不同做法(尽管不影响数值解按H1模的收敛阶O(h2))确实影响数值解按L2模的收敛速度.数值实验表明,在某些对偶剖分做法之下,数值解按L2模的收敛阶是二阶(O(h2)),而某些对偶剖分之下,数值解按L2模的收敛阶高于二阶,最佳的L2模收敛阶(O(h3))如何能达到仍然有待于进一步探索.我们构造了在三角形剖分上求解Poisson方程的Lagrange三次有限体积元法,取试探函数空间为原始三角形剖分上的Lagrange型三次有限元空间,检验函数空间为对偶剖分上的分片常数函数空间,并给出了双线性形式正定性分析及H1误差估计的证明.数值实验结果表明该格式按H1模收敛阶为O(h3),按L2模和最大模的收敛阶为O(h4),且数值解的平均梯度在三角形单元的对称点(三角形顶点和边中点)上有超收敛性现象：按平均梯度模的收敛阶比H1模收敛阶约高一阶.模仿陈龙博士给出的一种杂交的Lagrange二次有限体积元法,我们给出了求解Possion方程的杂交的Lagrange三次有限体积元法,此方法的主要思想是在三角形单元顶点处使用有限体积元格式列方程,在单元其它插值节点处用有限元格式列方程.数值实验表明,此方法与上一部分我们构造的Lagrange三次有限体积元法有相同的按H1模、L2模和最大模的收敛阶及超收敛性现象.如前所述,尽管通过数值实验我们得到了高次有限体积元法在特殊点处的超收敛性(高精度)现象,但是其理论分析现在还难以进行.而后处理和外推法也是获得高精度的途径之一,故我们给出了求解Possion方程的双线性有限体积元格式的外推法,证得了外推法的解按H1模具有更高精度.数值实验表明外推解按H1模的收敛阶为O(h3),按L2模和最大模的收敛阶为O(h4).