非线性Schr?dinger方程在物理、工程等众多领域应用广泛,特别是非线性分数阶Schr?dinger方程的研究得到越来越多学者的关注。本文首先研究二维非线性整数阶Schr?dinger方程,在空间离散上应用二阶精度的有限差分方法,对离散后得到的差分矩阵进行正交分解,可以应用离散傅里叶变换实现矩阵的乘积。在时间离散上,应用二阶紧致隐式积分因子方法(7)cIIF(8),并结合快速傅里叶变换(7)FFT(8),提高计算速率,在每一个网格上采用Picard迭代得到数值解,这样的数值格式使得运算速率得到进一步的提升。紧致隐式积分因子方法(7)cIIF(8)相比较非紧致隐式积分因子方法(7)IIF(8),在保持稳定性的同时,减少了存储空间,提高了计算速度。本文还研究了二维非线性分数阶Schr?dinger方程,采用二阶精度的加权偏移r(5)(5)LetnikovnwalduG-差分(WSGD)方法进行空间离散化,得到的微分矩阵是一个实值对称正定矩阵,并且具有Cholesky分解,这种分解对于证明离散守恒定律是非常有用的,证明了半离散形式的质量和能量守恒性。在时间离散上提出了两种时间离散化方法,一种是基于NicolsonCrank-方法,可以证明它可以保持全离散的质量和能量守恒;另一个是紧致隐式积分因子方法,具有良好的稳定性。最后给出了数值结果,证明了该方法的守恒性,准确性,有效性。论文分为五部分:第一章介绍了方程的研究背景,研究现状,创新点及本文的主要工作;第二章介绍了分数阶导数定义,数值方法及WSGD算子;第三章研究了二维非线性整数阶Schr?dinger方程的守恒数值方法,在空间离散上采用有限差分方法,时间离散上应用紧致隐式积分因子方法(7)cIIF(8),再结合快速傅里叶变换(7)FFT(8),数值结果验证了方法的有效性;第四章,提出并分析了二维非线性分数阶Schr?dinger方程的有效差分格式,基于WSGD差分算子,提出了两种时间离散化方法,一种是基于NicolsonCrank-方法,另一种是紧致隐式积分因子方法(cIIF)。最后给出了数值结果,证明了该方法的守恒性,收敛性和有效性;最后,对以上内容进行总结,并指出下一步的研究方向。