【摘 要】
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混沌理论是应用数学的一个重要分支,其原因在于大量它的潜在理论应用到各个领域,如工程、物理、经济、生物及其他科学.混沌理论侧重研究具有对初始条件高度敏感性的动力系统的行为E. N. Lorenz提出了Lorenz系统,并开启混沌现代理论的研究.Lorenz型系统推动了混沌科学的发展.同时,超混沌系统比一般混沌系统具有更为丰富的复杂动力学,因而超混沌同步在大量应用领域有广泛的研究.基于Lorenz系统
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混沌理论是应用数学的一个重要分支,其原因在于大量它的潜在理论应用到各个领域,如工程、物理、经济、生物及其他科学.混沌理论侧重研究具有对初始条件高度敏感性的动力系统的行为E. N. Lorenz提出了Lorenz系统,并开启混沌现代理论的研究.Lorenz型系统推动了混沌科学的发展.同时,超混沌系统比一般混沌系统具有更为丰富的复杂动力学,因而超混沌同步在大量应用领域有广泛的研究.基于Lorenz系统,本文介绍两个新的六维超混沌系统,深入探讨这两个系统的动力学行为.为了研究新系统,通过研究相轨迹、Lyapunov指数、分岔、功率谱分析、Poincare映射来验证对应的超混沌吸引子和混沌吸引子.进一步,深入研究系统复杂的动力学行为,如双曲平衡点的稳定性、六维Hopf分岔的完全数学刻画.当系统参数已知时,采用单边线性耦合方法同步具有一个自由尺度因子的六维超混沌系统,而当系统参数完全未知时,利用自适应方法同步具有一个自由尺度因子的六维超混沌系统,最后通过数值模拟来验证所提方法的可行性与有效性.本文的主要工作如下：在第一章中,简述混沌理论的背景及重要性.混沌系统的历史背景、Lorenz系统、混沌理论的定义与基本要素被介绍,同时介绍经典Lorenz系统、Lorenz型超混沌系统和若干典型超混沌系统.在第二章中,一个基于Lorenz系统的具有四个正的Lyapunov指数且唯一平衡点的六维超混沌系统被提出.这个系统是通过一维线性系统耦合一个五维超混沌系统得到的,其中这个五维系统是在Lorenz系统上加上一个线性反馈控制器和一个非线性反馈控制器.为了深入分析该新系统,首先数值研究对应的相轨迹、Lyapunov指数、分岔、功率谱分析、Poincare映射.另外,深入研究其复杂的动力学行为,如双曲平衡点的稳定性、六维Hopft分岔的完全数学刻画.在第三章中,提出另一个新的具有一个平衡点或三个平衡点的六维超混沌系统.此系统取适当参数值时,发现具有四个正的Lyapunov指数且唯一奇点的六维超混沌系统.而参数取另一些值,得到三个正Lyapunov指数且有三个平衡点的超混沌系统.同时,数值仿真验证Lyapunov指数、分形维数、混沌与超混沌行为,理论分析该六维混沌系统的动力学行为包括双曲平衡点的稳定性,证明Hopf分岔的存在性.在第四章中,侧重研究尺度同步问题.当系统参数已知时,利用单边线性耦合方法同步具有一个自由尺度因子的六维超混沌系统,而当系统参数完全未知时,利用自适应方法同步具有一个自由尺度因子的六维超混沌系统,最后通过数值模拟来验证所提方法的可行性与有效性.
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