该文第一章讨论了辫子张量范畴中无限维Hopf代数的对偶定理,应用辫子图对此定理给出证明,得到如下结果:命题2.1如果(A,m,η)是一个代数,那么(A<0>,△,ε)是一个余代数,其余乘法为△=m<*>,余单位为ε=η<*>.命题2.2如果(B,m,η,△,ε)是一个双代数,那么(B<0>,△<*>,ε<*>,m<*>,η<*>)也是一个双代数.而且,如果B=H是一个带有对极S的Hopf代数,那么H<0>是一个带有对极S<*>的Hopf代数.命题2.8 H是一个Hopf代数,U是H<0>的一个子Hopf代数使得H和U有双射的对极,假定U关于H满足RL-条件.如上所述,A是一个U-余模代数,使得A是一个H-模代数.U通过在A 上的平凡作用和在H上的→作用作用在A＃H上,那么(A＃H)＃U≌A(○×)(H＃U).第二章讨论了辫子张量范畴中交叉积双代数D=A<,α><φ>×<,β><ψ>H成为Hopf代数的充要条件,得到如下结论:引理3.4如果A和H有对极,并且(M1)-(M3),(CMl)-(CM3),(B1)-(B4),(CB2),(CB4)成立,那么D=A<,α><φ>×<,β><ψ>H有对极S<,D>.推论3.5如果(A,H,α,β,φ,ψ)是一个Hopf datum,A和H有对极,那么双重双交叉积D=A<,α><φ>×<,β><ψ>H有对极.命题3.6当A和H有对极时,交叉积双代数D=A<,ψ1.2>×ψ<,2.1>HD=A<,ψ1.2>×ψ<,2.1>H是一个Hopf代数.