古典风险理论主要处理破产概率和其它一些相关的精算量。然而，由于安全负荷条件，当公司不破产时，从长期看来盈余过程将会趋于无穷大。这显然是不符合实际的。因此，De Finetti[27]在1957年提出了公司目标为期望折现分红最大这一更具有经济涵义的准则。这个准则与Gordon[42]模型是一致的。Gordon[42]用累加折现分红来横量公司的价值。由De Finetti的思想产生了最优分红这个问题。这个问题与数理金融中的投资消费问题（见Merton[67]的开创性著作）有着紧密联系。在多数情形下，最优分红风险控制模型可以看作是线性效用下的消费投资模型（见Taksar[75]）。从Shreve et al.[73]文中看出，最优分红问题与储存或存货问题亦有关联。存储模型中的提取和储蓄可以分别看作是风险模型中的分红和注资。　　最优分红问题是最优控制理论（由Pontryagin[70]带领的研究小组建立）在保险中的一个极其重要和典型的应用。这个问题只取得了很少的进展直到最优控制理论及其更高等的随机最优控制理论（见Fleming and Rishel[32]和Krylov[51]的专著）的出现。De Finetti[27]证明了在一个简单的离散时间随机游走模型中，最优分红策略是边界策略。Gerber[34]把模型扩展到复合泊松情形，指出最优分红策略是带状的且对指数索赔这一特殊情形退化为边界的。在二十世纪七十年代，只有很少文献讨论最大化期望折现分红问题。然而，可以从这两本专著Bühlmann[21]和Gerber[35]中找到有关古典风险模型下的分红话题。　　自上世纪九十年代，就有很多文献用动态规划原理方法和Hamilton-Jacobi-Bellman方程来研究最优分红问题。其中大多数是建立在扩散模型和古典风险模型基础上。当保险公司的盈余过程服从带漂移的布朗运动时，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[49]和Asmussenand Taksar[8]这两篇经典文献研究了公司的最优分红问题。Gerber and Shiu[39]和Baiand Guo[16]找到了Cramér-Lundberg风险模型的最优分红策略。此外，保险商可以采取诸如再保险和投资这些工具来控制风险和获利。H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[7]分别引入比例再保险和超额损失再保险来探究扩散模型中的最大折现分红。Choulli et al.[24，25]考虑了在公司有债务责任和其风险减少受到约束的情况下的最优分红。当保险公司可以在Black-Scholes金融市场进行投资时，H(φ)jgaard and Taksar[48]和Azcue and Muler[14]研究了其相应的最优分红问题。对保险公司盈余服从一般扩散模型情形，Paulsen[68]和Bai and Paulsen[18]刻画了带固定交易费用的最优分红策略。Avram et al.[12]和Loeffen[58，59]用谱负Lévy过程来描述保险公司的动态，并运用波动理论来处理最优分红问题。更多关于风险理论中最优分红问题的背景和文献知识，推荐读者参考这两篇综述Avanzi[9]和Albrecher and Thonhauser[5]。　　在上面提到的大多数文章中，边界策略或者带状策略经常作为最优策略。这样的话，保险公司的破产概率通常为1。从现实的角度来讲，这显然不够有趣。在实际操作中，也许是出于制度或者法治上的原因（比如公司是公共产业），保险公司是受到监管的。监管委员会可能会约束公司的分红政策，或者为了保护被保险人的利益要求临近破产的公司注资。基于上述原因，博士论文主要致力于解决在这些约束条件下的最优分红问题。　　在第2章中，研究可以通过购买再保险来控制风险和通过注资以避免破产的保险公司的最优分红问题。假设这些行为都会产生交易成本:再保险公司会对从保险公司转出的风险收取更多的保费;红利将被征税;注资由于咨询和商议的原因会产生固定成本。于是问题转化为随机控制中的一个混合正则-奇异-脉冲问题。目标是找出值函数和使得分红和注资的累加折现差达到最大的最优策略。　　通过注资来救助一个濒临破产的保险公司这个想法可以追溯到Borch[20，Chap.20]和Harrison and Taylor[44]。最近有关注资的文献包括基于谱负Lévy风险模型的Avramet al.[12];基于扩散模型的L(φ)kka and Zervos[64]，He and Liang[45]和Meng and Siu[66];基于对偶模型的Yao et al.[79];基于带干扰的对偶模型的Dai et al.[26]和Avanziet al.[10];以及基于Cramér-Lundberg模型的Kulenko and Schmidli[52]和Scheer andSchmidli[72]。读者可以在Eisenberg[30]一文中找到有关最小化期望折现注资这个话题的详细讨论。下面首先与文献比较该模型和结论，然后给出解决问题的思路。Meng and Siu[66]研究了超额损失再保险下的最优混合脉冲分红-注资控制问题，而在该型中固定成本由注资产生。因此由Taksar[74]给出的方法(Meng and Siu[66]正是运用此法)，并不适用于该模型。He and Liang[45]研究了固定和比例交易费用下的最优融资和分红控制问题。该模型采用的是非便宜再保险，这使得求解相应的HJB方程更难了。处理的过程如下。首先在2.3节得到一个结论，它表明最优注资时间是等到盈余过程击中零边界的时候。这帮助降低了问题的难度。接着在2.5节考虑没有再保险这一特殊情形，它将为一般问题的解决提供些启示。最后通过解对应的HJB方程，得到了值函数和包含风险控制和分红方案的最优策略。　　第3章由两节构成，分别研究了在约束分红政策和考虑破产的时间价值条件下有利率收入的保险公司的最优风险控制问题。　　3.1节论述了是否有再保险合约供保险商选择这两种不同情形下的最优（有界）分红问题。有关有界分红率的结果可见基于扩散模型的H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[7]。对于古典风险模型，见Gerber and Shiu[39]，Lin and Pavlova[57]和Azcueand Muler[15]。不同于这些文献，在该模型中保险公司有常利率收入。目标是找到一个包含分红和再保险（如果有再保险合约）的策略使得期望折现分红最大化。Albrecherand Thonhauser[4]和Cai et al.[23]分别在古典模型和扩散模型下考虑了常利率的最优分红问题，但是其分红率是无界的且没有包含再保险。公司的利率收入可看作是金融市场中的无风险资产收益，这使得该模型类似于H(φ)jgaard and Taksar[47]。然而，当对分红率加上限制时，甚至可以计算在折现因子小于利率情形下的值函数（在此情形下有关无界分红率的值函数是无穷的）。得到的最优分红策略是门槛策略，即只有当盈余过程超过某一水平时，才以最大可允许的分红率进行分红。当模型中加入了再保险时，风险的最优自留比例不再是风险余额的单增函数。它先随着风险余额单调增加到某个可能的最大值，如果这个最大值等于1，就在1这个水平停留一段时间，然后下降至零。还有一点使得研究区别于现有的文献，直接分析值函数所满足的方程，并非像文献中常见的采用合流超几何函数来处理带利率的问题（例如，见Paulsen and Gjessing[69]，Cai et al.[23]和Fang and Wu[31]）。　　3.2节研究在考虑破产的时间价值条件下，有利率收入的保险公司的最优控制问题。不同于3.1节，本节考虑的是无界分红率这一情形。对于一般扩散模型和Cramér-Lundberg模型及其扩散逼近，Shreve et al.[73]和Thonhauser and Albrecher[78]分别考虑了在破产时有终端支付的最优分红问题。Liang and Young[56]在扩散模型的基础上添加了再保险。Meng[65]考虑一个同Thonhauser and Albrecher[78]相同的目标函数，但增加了常利率收入。在这里需要再次提及这篇文章Taksar[74]，作者指出，非零终端值的解可以通过平移零终端值的解得到。然而由于有利率收入，独立变量出现在相应的HJB方程中。因此Taksar[74]给出的方法不再适用于该模型。运用同3.1节类似的方法以及微分方程解对初值的连续依赖性，找到了值函数和最优策略。　　在第4章中，计算了Omega模型下谱负Lévy过程的一些常见精算量。Omega模型首次由Albrecher et al.[3]提出，这个模型假设保险公司即使在负盈余的情况下，也可以继续经营直到破产发生。此时破产由破产率函数ω(x)量化，其中x表示负盈余的大小。特殊地，当ω(x)等于某个常数时，在4.3节指出破产还有两个等价定义。其一是在Albrecher et al.[1，2]研究的指数分布观测区间的框架下的破产，其破产发生在当盈余在某个观测时刻为负值时。另一个是Landriault et al.[54]所考虑的指数分布延迟下破产（Parisian意义下破产的一种特殊情形）。　　在第4章的第一部分，在Omega模型下盈余过程为谱负Lévy过程时，对于固定罚金和依赖盈余的罚金两种情形，分别计算了破产时的期望折现罚金。还找到了盈余过程负持续时间的概率分布，并且计算了负盈余的积分的数学期望。使用谱负Lévy过程的一些波动性质，用尺度函数和Laplace指数来表示结果。本章的第二部分描述了Omega模型中的一个分红问题。在边界分红策略下，给出了直到破产的累加期望折现分红与破产时折现罚金两者差的显示表达。　　本文主要致力于解决带约束的最优分红问题。此外，还计算了Omega模型中有关谱负Lévy过程的折现罚金和期望折现分红。本文的主要贡献如下。　　在注2.2.2中解释了为什么研究强制要求保险公司注资的问题，而不是研究保险公司可以选择清偿资产并退出市场的问题。这个解释亦适用于文献中带注资的最优分红问题。　　在第3章中，用微分方程理论来处理常利率风险模型下最优控制问题，而不是像文献中通常引入合流超几何函数的方法。　　在3.1.4小节中，表明在分红率有界和没有再保险的情况下，最优分红策略是门槛策略。其所对应的分红边界关于分红率界是非降的，而且当分红率界大于某个正数时是非零的。　　3.1.5小节给出的最优再保险策略也有点不同于文献。在分红率有界的条件下，风险的最优自留比例不再是风险余额的单增函数。它先随着风险余额单调增加到某个最大值，如果这个最大值等于1就在1这个水平停留一段时间，最后下降至零。　　在3.2节中，引入一种新方法来研究在考虑破产的时间价值条件下的最优分红问题。这种方法用到了微分方程解对初值的连续依赖性。证明的过程和有关值函数的结果都增加了技术上的难度。　　在Omega模型中，当破产率为常值时，在4.3节表明这种情形下的破产可与随机观测下的破产以及Parisian意义下的破产相联系。基于这些联系，对于固定罚金和依赖盈余的罚金两种情形，分别计算了破产时的期望折现罚金。　　在4.3.1小节中，首次给出了谱负Lévy过程负持续时间的概率分布，用尺度函数和盈余过程的分布来表示。　　在4.3.2小节中，计算了谱负Lévy过程的负部从零到无穷时间累加的数学期望，并表明只有当过程有三阶矩时期望才有限。