钟万勰院士将弹性力学与无穷维Hamilton算子相结合，提出了基于无穷维Hamilton系统的分离变量法，建立了弹性力学求解新体系，解决了许多实际问题.此方法的理论基础是无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性问题，即辛本征函数系(辛正交系)的完备性问题.本文以无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性问题为主题，围绕着无穷维Hamilton算子理论开展了如下几个方面的研究：l、无穷维Hamilton算子特(本)征函数系在Cauchy主值意义下的完备性问题；2、无穷维Hamilton算子的可逆性问题；3、无穷维Hamilton算子的半群生成问题；4、作为对无穷维Hamilton算子特征函数展开法的补充，本文还研究了基于上三角算子矩阵的特征函数展开法。　　 首先，本文研究了弹性力学中对边简支边界条件的矩形板方程的无穷维Hamilton算子特征函数系，证明了该无穷维Hamilton算子广义特征函数系在Cauchy主值意义下是完备的，但在一般意义下不完备，即证明了辛正交系的完备性.进而给出了原方程的通解可按解函数系展开的定理，为此类方程应用基于无穷维Hamilton系统的分离变量法求解提供了理论依据.其次，研究了弹性力学中一边简支对边滑支边界条件的条形板方程的无穷维Hamilton算子特征函数系，证明了该无穷维Hamilton算子广义特征函数系在Cauchy主值意义下的完备性.进而，推导出了原方程的通解，并对该平面弹性问题指出了什么样的边界条件可按此方法求解.最后，研究了弹性力学中Kirchhoff矩形板的自由震动问题.根据已知结论，将Kirchhoff矩形板的振动方程等价地转化为无穷维Hamilton系统，从而得到了相应的无穷维Hamilton算子.证明了对边简支边界条件的Kirchhoff矩形板振动方程的无穷维Hamilton算子特征函数系在Cauchy主值卷义下的完备性.进一步，通过计算推导出了对应无穷维Hamilton系统的通解.通过Levy-型极为例说明，所得通解结合适当的边界条件可以推导出相应的频率方程和横向位移函数，并且指出了哪些边界条件可以应用此方法求解。　　 在研究完备性过程中我们发现，许多无穷维Hamilton算子的特征函数系是否完备与相应无穷维Hamilton算子是否可逆具有相关性.为了探索它们之间的内在联系及考虑到无穷维Hamilton算子可逆性本身的重要性，我们研究了一类无穷维Hamilton算子的可逆性.具体根据无穷维Hamilton算子的结构特性，证明了一类无穷维Hamilton算子的点谱分布，进而给出了这类无穷维Hamilton算子可逆的充要条件。　　 无穷维Hamilton算子特征函数展开法，解决了许多实际问题.但是在研究完备性过程中，我们发现，有一些无穷维Hamilton算子的特征函数系是不完备的.对于这一类不能应用辛特征函数展开法解决的问题我们有必要寻求其它解法.基于上述原因，本文又采用了两种方法：第一种是在无穷维Hamilton系统的框架内考虑了算子半群方法；第二种是在无穷维Hamilton系统的框架外考虑了上三角算子矩阵的特征函数展开法.关于无穷维Hamilton算子的半群生成问题，应用Hille-Yosida定理研究了无穷维Hamilton算子，得到了一个无穷维Hamilton系统初值问题解的存在性定理，并把结果应用在由一类双曲型偏微分方程导出的无穷维Hamilton系统中，给出了此类无穷维Hamilton系统解的存在性定理.对基于上三角算子矩阵的特征函数展开法，根据已有的研究结果，将应力形式的二维弹性问题的基本偏微分方程组等价地转化为上三角微分系统，导出相应的上三角算子矩阵.通过深入研究，在新的定义域中获得了主对角线上两个块算子各自更为简洁的正交特征函数系，并证明了它们在相应空间中按Cauchy主值意义下的完备性.基于特征函数系的完备性，应用特征函数展开法给出了该二维弹性问题的更为简洁实用的一般解.此外，对该二维弹性问题，还指出了什么样的边界条件可以应用此方法求解。　　 本文为应用基于无穷维Hamilton系统求解实际问题提供了一些理论基础，为进一步研究无穷维Hamilton系统打下了一定的基础，并研究了无穷维Hamilton系统之外的一类特征函数展开法.为特征函数展开法的研究做出了一些有益的工作。