17世纪日本的勾股算术

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勾股算术是中国传统数学的一个重要分支,内容主要包括:1.勾股定理及其证明;2.勾股整数;3.勾股容方、容圆术;4.相似勾股形与勾股测量术;5.解勾股形。日本作为汉字文化圈的国家,历史上一直受中国文化影响,日本传统数学(和算)是在中国传统数学(中算)的基础之上发展起来的。
  17世纪以前, 中算曾有两次大规模传入日本,传入日本的中算典籍如算经十书、《杨辉算法》、《算学启蒙》、《算法统宗》等对和算产生了深远影响,使得勾股算术知识在江户时代以前就传播于日本。中算第一次主要通过算经十书传入日本,但古代日本数学家因限于知识水平对其中的相关知识缺乏研究,也没有留下数学著作。中算第二次传入日本大致时近江户初期,日本社会逐渐稳定,经济逐步恢复和繁荣,由此带来了文化的昌盛,特别是武家文化和平民文化(町人文化)的兴起,为和算的发展提供了有利的社会、文化环境。随着中国宋元数学中的天元术在日本的传播与发展,有关勾股算术内容逐渐为和算家所重视,使得和算的勾股算术在中算基础上获得了长足进步,以至成为江户时期和算中的一个重要知识分野。
  江户时代遗存下来的众多和算书中,有关勾股算术的著述十分繁多,17世纪日本诸多和算书中,就皆载有勾股算术的内容,到了17世纪下半叶,部分和算家开始深入研究勾股问题由吸纳中国传统数学中勾股算术内容转而形成自己民族的创新,这一时期出现了有关勾股问题研究的专著。18世纪、19世纪的和算著作中涉及勾股问题的算书更多,据不完全统计,多达200多种。更多的和算家热衷于勾股算术的研究,他们在17世纪和算的基础上发展和完善了勾股恒等式、勾股相容问题和整数勾股形理论,使和算勾股算术知识系统趋于完备。考察、总结中算勾股算术知识在日本的影响以及江户时代和算勾股算术研究的成果与发展历史,是一个非常有历史意义和现实教育价值的研究课题。
  本文着重考察17世纪和算的勾股算术发展状况。文章首先介绍了中算勾股算术传播于日本的途径与内容,其次对江户时代早期(1603-1671)的和算书,如《诸勘分物》(1622)、《竖亥录》(1639)、《九数算法》(1653)、《算俎》(1663)、《古今算法记》(1671)等书中零散的勾股内容进行考察,分析了其中勾股定理的证明与应用情况,并分析了一些算书中对勾股相容问题研究的成果。
  接着,文章按照时间顺序,对勾股算术专著《股勾弦钞》(1672)与《勾股弦适等集》(1684)进行介绍和分析,以与中算(特别是清代数学)比较的视野,分析这两本书在勾股算术研究领域取得的成就,尤其是在解勾股形、勾股恒等式和整数勾股形构造和勾股相容问题方面取得的成就。据考察,星野实宣以勾股恒等式和正负方程术解答《股勾弦钞》中150道解勾股形题目。他在稍加改变题设的基础上,变换出 143 种已知条件的组合,极大程度地丰富了求解勾股形的已知条件。中西正好在《勾股弦适等集》中以日文缩略字为符号,将十个图形中的136个几何量之间所成立的关系以2400余个恒等式的形式表示出来。他将之前和算书中所涉及的求解勾股形问题、勾股相容问题、勾股和较问题融会贯通,并且讨论了勾股形的构造问题。此二人的工作使得17世纪和算的勾股算术研究达到最高峰。文章在此基础上,分析总结了 17 世纪和算勾股算术研究的特点:1.从实用型转化为研究型;2.继承并强化了中国宋元时期代数化几何的传统;3.在勾股恒等式的研究上追求“量”的飞跃。
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