【摘 要】
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分数阶微积分是一种关于整数阶微积分方程的数学推广,它研究的是任意阶次的微分与积分的非标准的算子理论及其应用是数学分析的一个重要分支.近年来,分数阶微积分以及分数阶
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分数阶微积分是一种关于整数阶微积分方程的数学推广,它研究的是任意阶次的微分与积分的非标准的算子理论及其应用是数学分析的一个重要分支.近年来,分数阶微积分以及分数阶微分方程理论在不断发展和完善,在很多领域它们都已经得到了非常广泛的应用,例如在物理学,数学和工程学等.对分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点.众所周知,分数阶导数使用的范围日益广泛,但是其数值解的求解过程中仍然存在着弊端,主要表现为:这些数值计算上的困难本质上都是由于分数阶微分算法的非局部性造成的,特别是高维问题其存储量和计算代价是难以估量的.所以对这类问题不管是直接解法还是Krylov子空间迭代法都丧失了其在求解整数阶微分方程方面的优势.因此,本文将会提出一种高效快速的解决方法,本文的主要内容有:第一章,简要介绍了分数阶扩散方程的背景、研究的意义及国内外研究现状分析.第二章,介绍了分数阶扩散方程的有关理论知识,针对一维、二维双侧空间扩散方程,简要回顾了相关的有限差分格式.第三章,针对一维分数阶扩散方程的模型,构造出相应的二次样条离散化格式.除此以外,我们用数值实验给出了隐式欧拉格式下的高斯消元法(Gaussian)和双共轭梯度稳定法(Bi-CGSTAB)的数值误差、运算时间和平均迭代次数,并且通过对比可以看出在相同的剖分下,Bi-CGSTAB法效率优于Gaussian法.第四章,基于Bi-CGSTAB算法,通过进一步分析可以得到,结合快速矩阵--向量乘积和循环预条件之后的快速双共轭梯度稳定法和T.Chan预条件的双共轭梯度稳定法在处理分数阶扩散方程方面的高效性更加显著.第五章,我们将Fast Bi-CGSTAB,T.Chan preconditioned Fast Bi-CGSTAB应用于二维分数阶扩散方程,通过数值实验给出了隐式欧拉格式下的Gaussian、Bi-CGSTAB、Fast Bi-CGSTAB、T.Chan preconditioned Fast Bi-CGSTAB这几种方法的数值误差、运算时间和平均迭代次数的对比结果.
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